II, — CHANGEMENTS DE VARIABLES

aire a’, dont le contour nmgr doit être décrit dans le sens inverse, lorsque rimigini est décrit dans le sens direct. Cette aire a’ doit donc recouvrir en partie l’aire précédente a; à tout point (x, y) de la partie commune #zrm correspondent deux points (w, #) de part et d’autre de la ligne m1 71.

Posons, par exemple, X =x, Ÿ = y?; on a A —2y. Si le point (x, y)

décrit une aire fermée renfermant un segment ab de l'axe des x, on voit sans peine que le point (X, Y) décrit deux aires situées au-dessus de l’axe des X, et terminées l’une et l’autre à un même segment AB de cet axe. Une feuille de papier repliée sur elle-même suivant une ligne droite tracée dans cette feuille donne une idée nette de la surface décrite par Île point (X, Ÿ).

Il ne suffit pas que A conserve le même signe dans À; pour que la correspondance soit univoque. Prenons par exemple X — x?— y?, Ÿ =2xy; le jacobien A — 4(x2+ y?) est toujours positif. Or, les formules précédentes peuvent s’écrire, en désignant par (7, 0), (R, w) les coordonnées polaires des deux points (x, y), (X, Y) respectivement, Rire =

Cela posé, faisons varier r de & à b(a<b) et 0 de o à 7 +2 | a étant

compris entre o et — }- Le point (R, w) décrit la couronne circulaire com-

prise entre les deux cercles de rayons a? et b?. Mais à toute valeur de l'angle w comprise entre o et 24 correspondent deux valeurs de 0, l’une 6; comprise entre o et «, l’autre entre 7 et T +4. On peut encore se représenter l'aire décrite par le point (X, Y) au moyen d'une couronne circulaire en papier qui se recouvrirait partiellement.

193. Changement de variables : première méthode. — Conservons les hypothèses faites plus haut sur les régions À et À,, et les formules (16), et soit F(x, y) une fonction continue dans la région À. Décomposons la région À, en régions plus petites %, %, ..., 4 d'une façon arbitraire; il y correspond une division de la région À en régions plus petites &, @2, ..., An: Soient w;eto; les aires des deux régions correspondantes &; el 4;;0n a, d’après

la formule (17) "A D(P, 8) D Qui, vi) |?