II, — CHANGEMENTS DE VARIABLES

le signe S indiquant qu'il faut remplacer æ par y, puis par £, et

faire la somme. Ces fractions E, F, G jouent un rôle important dans l'étude des surfaces; si f, ©, Ÿ sont des fonctions réelles,

comme nous le supposons, il est clair que E, G, EG — F? sont positifs.

Les coefficients À, B, C dépendent non seulement du point considéré sur la surface, mais aussi des axes de coordonnées, tandis que E, F, G ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées, mais seulement de la surface S et des variables w et que l’on a prises. Cela est évident, d’après la signification géométrique de .-ces coefficients; la vérification est d’ailleurs immédiate au moyen des formules de transformations de coordonnées, Mais ces six fonctions sont liées par une relation importante

APHÉRIS UECe Ba que l’on déduit de l'identité de Lagrange

(ab'— ba'} +(bce'— cb} + (ca — ac}?

— (a+ b?+c?)(a?+b'i+ c?) — (aa +bb'+ cc»?

en y remplaçant @, b,c, a’, b', c' par =. EU . respectivement.

Nous établirons encore une formule préliminaire. Soient 7 une portion de R limitée par un contour fermé c, m un point intérieur à r,s la portion de S qui correspond à 7, y le contour de s et M le point de s qui correspond à ». Supposons la région 7 assez petite pour qu’une parallèle à la normale en M ne puisse rencontrer s en plus d’un point. Cette surface s se projette orthogonalement sur le plan langent en M suivant une portion de plan s', limitée par une courbe fermée y/, projection de y. Soient w l'aire de 7 et oc l'aire de s!; nous allons d’abord chercher une expression du

rapport = (cf. n° 124). Pour cela, imaginons qu’on ait choisi le

point M pour origine des coordonnées, pour axe des z la normale

en M et pour axes des x et des y deux droites rectangulaires quel-

conques du plan tangent issues de M. Si wo, o sont les coordonnées du point » dans le plan (u, #), le plan tangent à l’origine étant le plan 3—0, ona Aç—B,— 0, et par suite Ci = Es Go — Fÿ, en désignant par l'indice zéro la valeur d’une fonction de w et de # pour u = up, V = Po.

L'aire & est l’aire enveloppée par la courbe y! décrite par le pont (+, y) dansle plan 4 = 0 lorsque le point(u, ») décrit le con: tour c; on a donc (n° 124)5—w|C{(u/, v')|, u! et v' étant les coordonnées d’un point m'intérieur à c. Les deux fonctions | C(w, v)|

et VEG — F? sont égales, on vient de l’observer, pour w = w; 6— #9; Ces fonctions étant continues, si la région r est très petite, leur différence est aussi très petite pour uw = u!, v —=+!, et l'on a |

5 = | VECE Hi 2, F°, G'étant les valeurs de E, F, G pour les coordonnées w!, #! d’un point de r, et e étant infiniment petit en même lemps qué les dimensions de cette région r.

Ge nombre € tend uniformément vers zéro en même temps que la plus grande dimension de la région r. Nous avons en effet