II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

n’est rencontrée qu’en un nombre int de points par une parallèle à Oz, se décompose en un certain nombre de domaines dont la frontière n’est rencontrée au’en deux points par une parallèle à Oz. Le volume de ce domaine s’exprimera donc par une somme algébrique d'intégrales doubles.

129. Calcul des volumes. — Considérons, comme tout à l'heure, une portion de l’espace limitée par une surface S située au-dessus du plan xOy, ce plan lui-même et un cylindre ayant ses génératrices parallèles à Oz; nous supposerons que la section par le plan z— 0 est un contour tel que celui de la figure 20, formé de deux parallèles à l'axe Oy et de deux arcs de courbe A m, B, A'm,B. Siz— f(x, y) est l'équation de la surface S, le volume ainsi limité a pour expression

b 2 | v=/f am f ÉTAT AT.

t ÿL

Ye Mais l'intégrale ele f(æ, y) dy représente l’aire & de la section faite dans ce volume par un plan parallèle au plan des yz,et la formule précédente peut s’écrire

b (26) Ve (É eb dr.

Or, un volume limité d’une facon quelconque est égal à la somme algébrique d’un certain nombre de volumes limités comme le précédent. Par exemple, pour évaluer le volume limité par une surface fermée convexe, on peut circonscrire à cette surface un cylindre ayant ses génératrices parallèles à Oz, et l'on aura à calculer la différence de deux volumes tels que le premier. La formule (26) s'applique donc à tout volume compris entre deux plans parallèles x — a, x —b(a<b), et une surface de forme quelconque, À désignant l'aire de la section faite dans ce volume par un plan parallèle aux premiers. Supposons l'intervalle (a, b) décomposé en intervalles plus petits par des nombres croissants &, 1, %2, .…,

Ln1, 0, et soient dbo, dy, +, db, ... les aires des sections corresb

pondant aux plans 3=a, x=—x,,.... L'intégrale définie f À dx a

est la limite de la somme Ào(Ti— à) + A1(Ta— Li) +... + doi (Ti— Tip)

dont la signification géométrique est évidente, car.b; ; (Ti — Liu}, par exemple, représente le volume d’une tranche cylindrique ayant

pour base la section faite par le plan + = x;,, et pour hauteur la

distance des deux plans voisins. Le volume cherché est donc la! limite d’une somme de tranches cylindriques infiniment minces,

définies comme la précédente; ce qui est bien conforme à la notion

vulgaire du volume.

Si l’on connaît l'expression de l’aire & en fonction de +, le volume cherché s’obtient par une seule quadrature. Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir le volume compris entre une surface de révolution et deux plans perpendiculaires à l’axe. Cet axe étant pris pour axe des æ, soit z— f(x) l'équation de la méridienne dans le plan des æz; la section par un plan parallèle au plan des yz est un cercle de rayon f(x) et le volume cherché a pour

b expression sf RACE dx.

Cherchons encore le volume de l’ellipsoïde

mie

compris entre les deux plans +2 —x5, x— X. La section par un plan parallèle à + —o est une ellipse dont les demi-axes

TX?

sont égaux à b{/ 1 — a” C(/1— 35 on a donc pour le volume

cherché

X D] : 7 \ ; æ? É X2 — y ps she (1%) dr = be X — D "1 PA 2 3€?

Pour avoir le volume total, il suffira de prendre x, = — a, X =a, 4 | ce qui donne zTrabc.

130. Volume limité par une surface réglée. — Lorsque l’aire Jb est

une fonction entière et du second degré de +, le volume s'exprime très simplement au moyen des aires B, B', b des deux sections extrêmes et de la section moyenne, et de la distance À des deux sections extrêmes. Si l’on

I1. — CIANGEMENTS DE VARIABLES.

(ee) Le ©

prend le plan de la section moyenne pour plan des y3,on a

ET (laè+amax+n)dx= al 0 A4:

d'autre part, on a

= 24, DT, B = la?+2ma + n, B'= la?— 2ma+ n,

Balon entire nr — à, a — nu 2la? = B +B'— 26, ce qui conduit à la for-

mule

Gette formule s'applique en particulier au volume limité par deux plans parallèles et une surface réglée quelconque. Soient, en effet, y = ax +p, 3 — bx + q les équations d’une droite mobile où &, b, p, g sont des fonctions continues d’un paramètre variable, qui reviennent à leurs valeurs initiales lorsque # croit de £ à T. Cette droite décrit une surface réglée, et l'aire de la section faite dans cette surface par un plan parallèle au plan x = o à pour expression (n° 96)

L= f (ax + p)(b'x + q') dt, Ji,

a’, b', p', q' étant les dérivées de a, b, p, q par rapport à £; ces dérivées peuvent être discontinues pour un nombre fini de valeurs de # entre to et T,ce qui arrivera si la surface réglée se compose de plusieurs morceaux de surfaces distinctes. Nous pouvons encore écrire

T T T ab'dt+x [| (aqg'+ pb") dt + f pq dt, lo lo

et les intégrales qui figurent dans le second membre sont évidemment indépendantes de æ. La formule (27) est donc applicable au volume cherché; on peut remarquer qu'elle donne la plupart des volumes que l’on calcule en Géométrie élémentaire. |

131. Aire d’une surface courbe. — Une surface est définie analytiquement comme il suit. Soient f(u, e), o(u, v}, d(u, 6) trois fonctions continues des deux variables w, », lorsque le point de coordonnées (u,) reste dans un domaine R du plan, limité par un contour fermé L. Le lieu des points de l’espace dont les coordonnées rectangulaires sont x—=f{u,v), y —o(u,e), 3 —%(u, sv), lorsque le point (w, v) décrit la région R, est une

APRES FOR PEL RTE 7- Por pd “#2 ( Tr # ’ » ÿ

surface S, et la courbe F, qui correspond à la courbe L dw plan (w, »), est le contour de celte surface. Nous dirons que la. surface S est régulière lorsqu'on peut choisir les. PRE u 4 et » de façon à satisfaire aux conditions suivantes : 1° la sur face S et la région R du plan (u, e) se correspondent per ne. point d'une façon univoque ainsi que les contours F et LA 2° les fonctions f, ©, Ÿ admettent des dérivées parüelles du premier ordre continues dans R et sur L; 3° les trois jacobiens, aucun point de R ou de L. Nous ne considérerons d’abord que des surfaces régulières ou se composant d'un nombre Jini de portons de surfaces régulières.

ne s’annulent en même temps pour

En un point M d’une surface régulière, correspondant au point (w, e) de R, cette surface admet un plan tangent qui a pour … équation (n° 64) 3

A(X—x)+B(Y—y)+C(Z—z)=0, où De) p - LG; +) … DEr pe DIRES: ” D(u,v) 7 Dm

les cosinus directeurs de la normale ont pour expressions

+ À 6 + B + C LE ————— y = —— > y V'A2+ B?2+ C2 ARE Bi CE | VA? B?-—+ C2

le signe étant le même dans les trois formules. Ce double signe correspond aux deux directions opposées que l'on peut prendre sur la normale. Si, par exemple, on veut avoir les cosinus de la direction qui fait un angle aigu avec Oz, on prendra le signe de C. ue

Si l’on remplace w et 6 par des fonctions d’un paramètre é, 0 point (æ, 7,3) décrit sur S une courbe, et le carré de l'élément linéaire de cette courbe, obtenu en ne au carré les expressions. de dx, dy, dz, et les ajoutant, est donné par la formule

(28) ds? = Edu?+ 2F du de + G dv?,

où l’on a posé