CHANGEMENTS DE VARIABLES

en posant or \ ? dx \ 2 HE NE F H —= ; a ANSE —— Û = ; — D (22) 1 s(e) , H, s(7) ? H,; s() ox 0x ox dr dr dx F —= S nr F, Less] S — — 3 ne 2 ME D 0» dw” ë dæ du Le du 0v°

le signe S'indique toujours qu’on doit remplacer æ par y, puis par z, et faire la somme. La formule qui donne dV se déduit très aisément de la formule qui donne ds?; on trouve, en effet, en faisant le carré du déterminant par la règle habituelle.

de MA

in sé : —. n À LS fr sicemnle

0x dy Fe À EE

(r dw dw

el l’élément de volume est égal à VM du de div.

Considérons en particulier le cas très important où les surfaces coordonnées (u), (v), («) forment un système triple orthogonal, c'est-à-dire où les trois surfaces quifpassent par un point quelconque de l’espace s’y coupent deux à deux à angle droit. Les . langentes aux courbes d’intersection des trois surfaces prises deux à deux forment alors un trièdre trirectangle ; il faut donc que l’on at F,=F;,=F,— 0, et ces conditions sont suffisantes. Les formules qui donnent ds? et dV prennent alors la forme simple

(25) ds?= H, du? + H, de? + H; dw?, dV = YU; H; du de dw.

On peut retrouver facilement ces formules par quelques considérations de géométrie infinitésimale. Supposons du, dy, dæ très” petits, et assimilons le solide élémentaire défini tout à l'heure à un petit parallélépipède rectangle à faces planes. Les arêtes de ce parallélépipède sont respectivement VH, du, VH> dy, VH; dv, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur. Nous aurons les formules (23) en prenant pour élément linéaire et pour élément de volume la diagonale et le volume de ce solide élémen-

taire. L'aire d'une des faces VH, H: du do représente de même

l’élément d’aire de la surface (ww).

Prenons pour exemple les coordonnées polaires dans l’espace (24) æ-="p Sin 0 cos @; LR psIntsMme, 3 = p cosb;

£ représente la distance du point M(x, y, z) à l’origine, 0 l'angle que fait OM avec O3, et © l’angle que fait avec Ox la trace du demi-plan MO sur le plan 3 — 0. Pour obtenir tous les points de l’espace, il suffit de faire varier p de o à +, 8 de o à tr, eto de o à 27. Des formules (24) on déduit, en faisant le calcul,

(259 ds? = dp? + p?d02+ p? sin26 do?

et, par suite, (26) dV = p?sin6 do 48 do.

On retrouve aisément ces formules sans aucun calcul. Les trois

familles de surfaces (b), (4), (w) sont respectivement des sphères concentriques à l’origine, des cônes de révolution autour de Oz

Fig. 29.

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