I. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

point par point. On a donc, d’après la formule du changement de variables dans une intégrale double,

(14) 1178 Er. Y,3) dx dy

DC F[y(z", y',3'),e(2", y',3),2 RES | de dr

les deux nor de cette égalité dépendent seulement de la variable 3 — z'. Si l’on intègre de nouveau entre les limites z, et 3: entre uelles peut varier z dans la région (E), l'égalité obtenue peut s’écrire

JR F(x, y,3) dx dy dz ss

“USE FL pu) ep 8) 21] D ee ldr dy ds

D27; 7) 208 RER, 7 D(2 57,2), D (2 s'applique encore aux ei ets de variables de la forme (13).

Or, on a ici de sorte que la formule (10)

Nous allons montrer maintenant que tout changement de variables

(16) M (Ti, Vi Si), Ho (Ti, Yi, 31), Bi D (Ty, Pts 21)

peut s’obtenir par une combinaison des précédents. Posons, en ÉUÉPE=T,, Ji— ya, 7 — 5; la dernière équation (16) peut M (7.7, 7i) eLl'on en tire z,—7r(x!, y, 2). Les

formules (16) peuvent alors être remplacées par le système des six

éq uations

“ (7) æ=/f[x, y'ir(x, y',z)], J=2tr,y,r(x, y 3)], 3=2, (8) MOT OC y 21);

la formule générale (ro) s'applique, on vient de le voir, aux transformations définies par les formules (17) et (18), et par conséquent aussi au changement de variables (16).

On pourrait encore, comme le lecteur le prouvera aisément, remplacer la transformation générale (16) par une suite de trois transformations telles que (11).

147. Élément de volume. — Écrivons les formules (6) qui définissent le changement de variables, en remplaçant z', y’,

par u, P, w,

(19) DE N(U, 0,00) Vi Qu, Pi), z = Vu, vu).

ën modifiant un peu l'interprétation adoptée jusqu'ici, regardons maintenant u, », # comme un système de coordonnées curvilignes. Les surfaces («), par exemple, sont les surfaces décrites par le point (+, y, 3) lorsque v et # varient arbitrairement, w conservant une valeur constante; et les surfaces (+) et («) se définissent de la même facon. Si par chaque point d’une région (E) de l’espace il passe une surface et une seule de chacune de ces familles, elles décomposent cette région en hexaèdres à faces courbes, analogues aux parallélépipèdes formés par les plans parallèles aux trois plans coordonnés.

Le volume du petit solide compris entre les surfaces (u), (v), (æ), (u + du), (v + de), (w + di), où du, dv, diw sont posiüfs, pour expression, d’après la formule (9),

Lee | ‘ ess + du di dw,

e étant infiniment petit en même temps que du, dv, div. On peut négliger, comme on l’a déjà expliqué plusieurs ete (n° 75, 125), le terme € du de dw, et le produit

: D (20) av =| pee | du de du D(u,e,w s'appelle l'élément de volume dans le système de coordonnées curvilignes (u, p, w). .

Soit ds? le carré de l'élément linéaire dans le même système de coordonnées ; on déduit des formules (19)

shp of CA ET dx = Lau + de + À - dw, dy = URSS

et, en élevant au carré et ajoutant, il vient

(21) ds? = H, du? + H, de? + H, dw? + 2F, dv dw +2F, dw du 92F;: du dv,