I. — CUANGEMENTS DE VARIABLES

p 1 J° > égal à l'intégrale triple n R

27 T Vel do [ an | p?sin0 do; 70 0

la première intéeration s'effectue immédiatement et il reste P 5

27 T are tel de f RAA 0 ) 0 3

On emploie aussi quelquefois les coordonnées semi-polaires 7, W, 3, Où & = COS, y —=/sinw. Dans ce cas, on a ds? — dr? + r? dw°? + dz?

el dN = r dw dr ds.

148. Coordonnées elliptiques.— Les surfaces représentées par l'équation

SE Sn je D = C

Rpe —1—=-0,

où À est un paramètre variable et a > b > c > o, forment une famille de quadriques homofocales. Par chaque ‘point de l’espace, il passe trois surfaces de cette famille, un ellipsoïde, un hyperboloïde à deux nappes et un hyperboloïde à une nappe, car l'équation (27) a toujours une racine À; comprise entre b et c, une racine À, comprise entre @& et b, et une racine À3 supérieure à &; ces trois racines À1, À, 23 sont appelées coordonnées elliptiques du point de coordonnées rectangulaires x, y, 3. Deux surfaces quelconques de la famille sont orthogonales, car si l'on remplace À par 1, puis par À, dans l'équation (27), et qu’on les retranche membre à membre, il vient, en divisant par A1 — 0,

D) G—0)0:— D) Q=otu-c)

relation qui démontre l’orthogonalité des deux surfaces (A1) et (À). Pour avoir facilement x, y, z en fonction de À1, À2, À3, remarquons que l'on doit avoir identiquement (A— a)(Ài—b)(Ài—c)—2(À—b)(Ài—c)—y?(Âi—a)(À—c) — 32(À—a)(À—b)—=(Xx— 2) (À — À2)(À — 3); en faisant successivement À=a, À =D, À = c dans cette identité, on en tire à Mer (A3—a)(a—}1)(a—}h) FUN TE ETS he 0 ODA) Os—e)(s—e)(u—e) ; (a—c)(b — c)

On déduit de là, en prenant les dérivées logarithmiques,

2 ( d); do dis ) Ar = A ES RÉ ER EP DU A1 Le DORA S EE à PISE # di; dh da j ENRE Aer DNS ei) Z ( di: do dhs ) Te = les CREER lc r E ||— 2, ÀA——e > — C Â3—cC

en faisant la somme des carrés, les termes en dAi dde, dho ds, du ds doivent disparaître d'après la relation (28) et les relations analogues. Le coefficient de dÀ? est

I æ2 v° 22 pa (A4— a}? (ki— 0}? (A — cc)?

ou, en remplaçant x?, y?, 3? par leurs valeurs et réduisant,

(A3— A1) (ho — À) (A1—a)(Ai —b)(A1—ec)

M, = Le

et les coefficients M; et M; de dA2? et de d)? s'en déduiront par permutation circulaire. L'élément de volume est alors ÿM, M M3 dÀ: dk dhs.

14. Intégrales de Dirichlet. — Soit à calculer l'intégrale triple

JS arrete :y ar ay a,

prise à l'intérieur du tétraèdre formé par les quatre plans + —0, V0; 32=0, 2 +y +3—=I1. Posons