FRS

KR’ étant aussi voisin de R qu'on le voudra. L’intervalle fourni par celte dernière inégalité est plus étendu que celui qui est donné par la condition générale (24).

Ce cas particulier se présente fréquemment dans la pratique. L'inégalité [D | <R est alors satisfaite d'elle-même, et le coefficlient €, ne dépend que de’ Lu, 008, ER

Le me. 2 n Co= do, C1 = ax, C2= &02+ a2a?, +.) Cn= dün+...+ an 1°

Exemples. — 1° Cauchy a montré qu’on pouvait déduire la formule du binome du développement de log(1 + æ). On peut écrire en effet

r2 (1 D met 20 a — etlos(1+x) — by — 1 + A Es Par: EN I 15% en posant “A T°

3 sk = ulet+a=u(f Tir.)

ce qui donne, en substituant le second développement dans le premier,

| x %? ai RIRE x? x 2 G+z}M=rit+u = —— + — es | + — —— + ess) HN I D ROM 2 3

Il est clair qu’en ordonnant le second membre suivant les puissances de +, on obtient pour coefficient de +? un polynome de degré n en y, soit P,(11). Ce polynome doit s’annuler Pour H=—=0, 1,2, .. 72 jets réduire à l’unité pour un = n, ce qui suffit à le déterminer

P Mép—u1), m(u—r+r

nL —= ° learn

2° Soit z = (1+ x)", æ étant compris entre —1 et +1. On peut écrire VAT

2 SIL Re nn.

‘ Il. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE. 463 en posant I 4e x? EAL — —log(i+r)=i--+<— —...+(—i) Y æ s( ) D) 3 ( ) n+T

Le premier développement est valable quel que soit y; le second n'est valable que si [æ| <1. La formule obtenue en substituant le second développement dans le premier s’appliquera donc aux valeurs de æ comprises entre — 1 et +1.

En se bornant aux deux premiers termes, on a

al m2 Rnb

Lorsque æ tend vers zéro par valeurs positives, (1+æ)" tend donc vers e en croissant.

ASS. Division des séries entières. — Considérons d’abord l’inverse d’une série entière commençant par l’unité

[ RER ss no da ) 1 br + br? +...,

et convergente dans l'intervalle (— 7, +7). Posons

Pb br +..; on peut écrire f(æ)= = =1-y+p—ys+.,, Ru :

et, en substituant le premier développement dans le second, on obtient pour f(x) un développement en série entière

fCr)=t—bir F(bi— 0 )a+..,

qui est valable dans un certain intervalle.

On développerait de même l'inverse d’une série entière quelconque commençant par un terme constant différent de zéro.

Soit maintenant à développer le quotient de deux séries entières convergentes

) A+ MT + Aa +... .