RO

et il faudra en outre qu'on ait aussi

c’est-à-dire

It (24) le(s):

La dernière inégalité (24) entraînant la précédente |x |; il s'ensuit qu’elle exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la série double (23) soit absolument convergente. La série double (22) sera donc aussi absolument convergente pour les valeurs de x satisfaisant à cette condition; remarquons que toutes ces valeurs de x rendent convergente la série o(x), et que

Il. — SÉRIES ENTIÈRES À UNE VARIABLE. 461 la valeur correspondante de y est moindre que R’ en valeur absolue, car les inégalités m [EURE m

Far OR EE

entraînent l'inégalité [#(x)|[ << R'. Si l’on fait ia somme de celte

série (22) en ajoutant par colonnes, on trouve a+ a p(r)+ aofp(æ)l+...+aulp(æ)+...,

c’est-à-dire f[ o(x) ]; au contraire, si l’on ajoute par lignes horizontales, on obtient une série ordonnée suivant les puissances croissantes de +, et l’on peut écrire

25) D(T)]=Co+ ar + CT +... + CnT es.

les coefficients Co, Ci, C», ... s'exprimant au moyen des coelfi- cients des deux séries par des formules faciles à établir

Co== do + G109+ G2bè+...+ anbG+..., (26) = db1+2a@bib5+...+nanbg tbi+..., « Co = Ai O2 + &(b?+ 2b6ba) +...,

DT ele NU NT CPI INRP ae; ele e eee KeL dre, à 8

La relation (25) n’est établie que pour les valeurs de æ qui satisfont à l'inégalité (24), mais ce n’est là qu'une limite inférieure de l'intervalle où cette relation est applicable. Il peut se faire quelle subsiste dans un intervalle beaucoup plus étendu. C’est une question dont la solution complète exige l'étude des fonctions d’une variable imaginaire et qui sera reprise plus tard.

Cas particuliers. — 1° Le nombre R’ qui figure dans l’inégalité (24) pouvant être supposé aussi Voisin de R qu’on Île veut, il s'ensuit que la formule (25) s'applique pourvu que lon

it | 7, Cela posé, si la série (20) est convergente Dior ): a posé, série (20) 2 quel que soit y, on peut supposer R infini, et p aussi voisin der qu’on le voudra. La formule (25) sera donc applicable pourvu que

l'on ait [æ|<7, c’est-à-dire dans le même intervalle que la for-

mule (21). En particulier, si la série #(x) est convergente quel que soit æ, comme /(y), on peut aussi supposer 7 infini, et la formule (25) subsiste quel que soit +.

2° Lorsque le terme constant b, de la série (21) est nul, on peut prendre comme fonction majorante de (x) une expression de la

forme mt

Ï — — P Où o <[ 7, In pouvant être quelconque. En raisonnant comme dans le cas général, on démontrera que la formule (25) est applicable, pourvu que l’on ait