A+ AT + AL

——— >; —= Cp+ CE + CoN +...

by + O1 x + b2ax?+..,

En chassant le dénominateur et égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on obtient les

relations suivantes

an = biche bites EE es (RE OS ER

qui déterminent de proche en proche les coefficients co, €, ..., en. On remarquera que ces coefficients sont précisément ceux que l’on obuendrait en effectuant la division des deux séries par la règle ordinaire de la division de deux polynomes ordonnés suivant les puissances croissantes de x. |

Lorsque b, — 0, le résultat est différent. Supposons, pour plus de généralité, d(æ) = xk4,(x), k étant un nombre entier positif, et Ÿ,(x) désignant une série entière où le terme constant est diffé rent de zéro.

On peut écrire *

— F PIE SRE TER, Y(æ) æk Yi) et, d’après ce qu’on vient de voir, on a

> à nes = C++ UE... + cpami ti co + CDR Ji

On en déduit

le quotient est done égal à la somme d’une fraction rationnelle, qui devient infinie pour x — 0, et d’une série entière qui est convergente dans un certain intervalle autour de l'origine.