IT. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

Remarque. — Pour calculer les puissances successives d’une série entière, il est avantageux dans la pratique d’opérer comme il suit. Si dans l'identité

(di +ar+...+anxi+.. TE) Ch Ci EE CB Eee,

on prend les dérivées logarithmiques des deux membres et qu'on chasse les dénominateurs, on parvient à une nouvelle identité

(29) M(ai+2@2T +...+ An A TL+,..) (co + CT +... + end +...)

= (dot diT +...+ anxt +...) (Ci + 2000 +... + On DE.)

Il est facile de former les coefficients des diverses puissances de æ dans les deux membres, et, en égalant les coefficients des mêmes puissances, on à une suite de relations qui déterminent de proche en proche c1, C3, +.., Cn, «.., CONnaissant Co. Or on a évidemment co — ar.

159. Développement de Pire — Proposons-nous de déve- Vi—2zxs + 232

lopper

suivant les puissances de z. En posant y — 2%3 — z?,

on peut écrire, pourvu que [y | 1,

4 RAODUEE F = (1— y) D JU +, a à c'est-à-dire il DU — 2° 3 (30) © = I — + (273 — 2} +...

VI— 2x3 + 2? 2 ë

et, en réunissant ensemble tous les termes qui sont divisibles par une même puissance de 3, on obtient un développement de la forme

(31) Pot Pizs+P;s+.. + P,zr+..., Vi— 2% + 3° où ala 342— I Par =, dessu: ..)

P, étant un polynome de degré n en x. Ces polynomes se déterminent de proche en proche par une loi de récurrence. En différentiant la formule précédente par rapport à 3, il vient en effet

VERS sr P;+2P:3 SE RP n are: CE]

19 les

ce qui peut s’écrire, en tenant compte de la formule (31) elle-même,

C3) (Po+ Pis +...+ Pist+...)= (1 —- 203 + 3)(Pi+oaP,sz +...)