uouyr+vo=Axs+Bat(u + ÿv)+Caæ(u + ve) DL Vo
En égalant à zéro la série formée par les termes rationnels en v, et le coefficient de ÿ+, on a les deux équations suivantes pour déter— miner «et ?
(68) (o=—u+Axi+ Brtu+ Cru?+ Cro + Dus+3Due+..., fou— Do = Br'+2Cru+3Du+....
On peut appliquer à ce système le théorème général du n° 194, et l’on en déduit pour w et des développements en série
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commençant par des termes qui sont au moins du troisième et du deuxième degré respectivement. Soit, d’une facon générale,
L'ENTIE p = bxt+... (ab £ 0; pee a
les séries ainsi obtenues. L’équation (63) admet les deux racines infiniment
petites V= aATP+H EE VbTIF ESS.
La forme de la courbe dépend avant tout de la parité de g.
Premier cas. — Soit qg=2r+1(r21). Supposons de plus b>0o; pour les valeurs de æ voisines de zéro, la série sous le radical a le signe de bx1. Pour que y soit réel, x doit être supposé > o, et les deux valeurs de y sont représentées par un développement en série ordonnée suivant
TOUS Ù les puissances de ÿx+. Si l’on a r + - < p, le terme du moindre degré est
Poe 1è :
le terme en æ ?, et l’on a un rebroussement de première espèce.
2e L A Sir+->p, on a un rebroussement de seconde espèce.
Second cas. — Soit g = 2r(r>1). Les valeurs de y ne seront réelles pour les valeurs infiniment petites de æ que si b est positif. Lorsqu'il en est ainsi, on a deux branches de courbe tangentes à l’origine à l’axe Ox, et l’origine est un point ordinaire pour chacune d’elles, car on peut écrire
ces deux racines V= ALP +... Er Vo + Die
Si b est négatif, l'origine est un point double isolé.
900. Surfaces analytiques. — Une portion de surface S est dite analytique si, dans le voisinage de Lout point M, de cette surface, les coordonnées æ, y, 3 d'un point variable M peuvent être développées en séries entières à deux paramètres variables £ — 4,
T — Lo — do(é — Lo) + doi(u—Uo)+...,
(70) Der 0— Bioté — to) + boitu —Uo) +...,
3 — 30 = Cio(Ë — lo) + Coi(U — Up) +...;
ces séries restant convergentes tant que les valeurs absolues des différences { — t9, u — u, ne dépassent pas certaines limites. Un point M, de la surface S est un point ordinaire si, dans le voisinage de ce point, une des trois différences x — Zo, Y — Vos 3 — 30 peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances entières des deux autres. Tout point M,, pour lequel les trois déterminants
D(y,z) D(z,x) D(x, y) Démo ab@u) /D(i,u)
ne sont pas nuls à la fois, est un point ordinaire ; si l’on suppose, par exemple, que le premier déterminant ne soit pas nul, on peut, des deux dernières équations (70), rer t— ty et u—uo, et, en portant les valeurs obtenues dans la première, on obüent un développement de æ —%; suivant les puissances de y — 7, et de z—3,.
Étant donnée une surface S représentée par une équation non résolue F (x, y, 3) — 0, soient %6, Yo 0 les coordonnées d’un point M, de cette surface. Si la fonction F est développable en
Série entière ordonnée suivant les puissances de 7 —%6, Y — Yo : LR : DÉMO COIN TEEN z— %,, sans que les trois dérivées partielles =>, "sont 0To 0Yo 029 nulles à la fois, il résulte du théorème général (n° 193) que le
point M, est un point ordinaire.
Remarque. — La définition adoptée pour un point ordinaire d’une surface est indépendante du choix des axes. Supposons que le point Mo(Zo, Yo; o) SOit un point ordinaire d’une surface S ;
les coordonnées d’un point voisin sont données alors par des for-
« CLÉS Prier .D(y,z) D(z, x) mules de la forme (70), où les trois déterminants De DD) D(x,y)
D) > ont pas nuls à la fois pour t— tu = us. Uneïtrans-
formation de coordonnées revient à remplacer les variables L;Y,4 par trois nouvelles variables X, Y, Z, fonctions linéaires des premières, telles que
X = ox + fi y + y13 + dr,
Y= 42T + Bo Y + Y23 + do,
L=u3x + Psy + Y323 + ds, D(X, Y,Z) DANSE 1e) J, = par leurs développements (50), on obtiendra pour À, Y,Z trois nouveaux développements de même forme, et l’on ne peut avoir
le déterminant A — n'étant pas nul. En remplaçant x,
