MO

et la formule de Lagrange donne, pour le développement de la racine qui s’annule avec y,

I Li dnr-1 I nm De MATE MURS (5) |, +.

l'indice o indiquant qu’on remplace æ par o après les différentiations. Le problème précédent était connu autrefois sous le nom de problème du retour des suites.

197. Fonctions analytiques. — Nous appellerons par la suite fonction analytique toute fonction d’un nombre quelconque de variables æ, y, 3, ..., qui, dans le voisinage d'un système de valeurs æ9, Yo; 3o :--, peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances de Z — Zo, Y —Yos 3 — Z0 *-*) et convergente tant que les valeurs absolues de ces différences ne dépassent pas certaines limites (les valeurs z6, Yo; 50 pouvant d’ailleurs être soumises à certaines restrictions, que nous n’examinerons pas ici). De l’étude qui vient d’être faite dans ce Chapitre, il résulte que ces fonctions naissent en quelque sorte les unes des autres. Étant données une ou plusieurs fonctions analytiques, l’intégration ou la différentiation, et les opérations algébriques, telles que multiplication, division, combinaison par substitution, etc., conduisent à de nouvelles l'onctions analytiques. Il en est de même des fonctions obtenues par la résolution d’équations dont les premiers membres sont analytiques. Or, les fonctions les plus simples, comme les polynomes, l’exponentielle et les fonctions circulaires, étant analytiques, on s'explique aisément comment les premières fonctions étudiées par les géomètres ont été nécessairement des fonctions analytiques, et l'importance de ces fonctions apparaîtra encore mieux dans l’étude des fonctions d’une variable imaginaire et des équations différentielles. Mais, malgré le rôle fondamental des fonctions analytiques, on ne doit point oublier qu’elles ne

forment en définitive qu'un groupe tout particulier dans l’ensemble des fonctions continues (1). |

198. Courbes analytiques. — Nous avons défini (n° 13) une courbe comme le lieu décrit par un point M dont les coordonnées

(‘) Soit f(x) une fonction continue et admettant des dérivées continues de tous les ordres dans un intervalle (a, b). Si ces dérivées satisfont à la condition

Mn!

(A) PACRES

M et p étant deux nombres positifs indépendants de æ, la fonction f(x) est analytique. En effet, x, et x étant deux points quelconques de l'intervalle (a, b), si Von développe f(x) — f(x,) suivant les puissances de æ — x, par la formule de

è T— æx,|"t!:

Taylor (n° 18), le reste Rest moindre en valeur absolue que miser",

d’après la condition (A), et par conséquent tend vers zéro, lorsque n croît indéfiniment, æ étant compris entre æ,— p et Ti+p. . Inversement, on démontrera dans le Tome II que la condition (A) est nécessaire pour que f(x) soit analytique. | M. S. Bernstein (Math. Ann., Bd. 75, 1914, p. 449) a démontré récemment la belle proposition suivante : Si toutes les dérivées d’une fonction indéfiniment dérivable #(x) sont positives dans un intervalle (a, db), la fonction est analytique dans cet intervalle.

Supposons a < b, et soient x, et x > æ, deux valeurs quelconques de cet intervalle. Puisque toutes les dérivées de p(æx) sont positives, la fonction et toutes ses dérivées sont croissantes. On a donc, de proche en proche, les inégalités

? ne 2

Re z)> ea) (rm), (2) 60 (7) : ZT — Lo)! T—xX,)" P(r)> 80) (2) ER, e(æ) > ea) + 802) MEN

et l’on a inversement, en faisant x = b,

Mn!

(n) 4 RIT) ASE 2 ; (b— x)"

M étant le nombre positif 9(b)— (a). Il s'ensuit que si l’on écrit le développement de &(æx), d’après la première formule de Taylor, suivant les puissances de æx—x;= h, la valeur absolue du reste R,+, est inférieure à

M | h jrtt (b—x,—060h})r1

et ce reste tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment pourvu que l'on ait

sont des fonctions continues æ =f(t), y =o@(t), 3 — (4) d’un paramètre {, quand on fait varier ce paramètre. Si les fonctions (4), o(t), Ÿ(t) sont des fonctions analytiques de £, c’està-dire des Iducuons des qui, dans le voisinage de toute valeur #, comprise dans un certain intervalle (a, b), sont développables par la formule de Taylor suivant les puissances de {—t, l'arc de courbe correspondant est dit un arc de courbe analytique. Toutes les courbes que l’on rencontre dans Îles: applications les plus usuelles sont des courbes analytiques ou sont formées d’un nombre int d’arcs analytiques mis bout à bout.

Soient +95, Yo, 3 les coordonnées d’un point M, d'une courbe analytique; æ, y, 3 les coordonnées d’un autre point M de la courbe voisin de M,. Le point M, est dit un point ordinaire si deux des trois différences 4 —%Xo, Y — Yo, 3 — Zo peuvent être développées en séries entières ordonnées suivant les puissances de la troisième, ces deux séries étant convergentes tant que Îles valeurs absolues de ces différences restent inférieures à une certaine limite À => 0. Dans le cas contraire, le point M, est dit un point singulier. Un arc de courbe analytique sans point singulier est dit régulier.

D’après la définition même des courbes rites les coordonnées æ, y, 3 d’un point M voisin du point M6(%6; Yo; 50) Sont représentées par des séries entières ne

T = Lo+ dit — to) +... + ant —to)t+..., (59) Y=Yot+ bit — to) +... + bat —to)t+..., | EN por Ci(é— to) +... + Cn(é— lo) +...,

ces trois séries étant conver gentes pourvu que lt — to| soit Hoindré qu'un nombre positif r.

Pour que le point M, soit un point ordinaire, él suffit que l’un: des trois coefficients a;, b:, ci des formules (59) ne soit pas. nul. Si, par exemple, a, n’est pas nul, on ürera de la première des équations (59) un développement de t— t, suivant les puissances de æ— xÿ(n° 193), et en portant cette valeur de £— ts dans les deux autres formules, on aura les développements de Y—Yo, 3 — 3 Suivant les puissances entières de æ—x,. Inversement, dans le voisinage d’un point ordinaire M, les équations qui définissent une courbe analytique peuvent être mises sous la

forme (59), l’un au moins des coefficients &i, V1, C, n'étant pas nul. En eflet, si, par exemple, y — y, et 3 — 3, sont égales à des séries entières en x — æo, il suffira de poser æ — x —=t pour être ramené à des formules de la forme (59), où l’on aura a, — 1. De cette remarque on déduit que la définition d’un point ordinaire est indépendante des axes de coordonnées. En effet, si l’on considère la courbe l qui se déduit de la courbe C par une transformation homographique définie par les formules

X=lrv+my+nz+p, Y=lx+my+nz+p!, AE l'x+ m'y + n'z CU

dont le déterminant n’est pas nul, on a

aX __,dx dy dz aY __, dx CARTE AU 1e EH Bee UMA 0 Pre TITRES 7: Re RACE

et les trois dérivées LE CLS de ne peuvent être nulles à la fois ; AL E LE dy dz

pour une valeur £, de £, si les trois dérivées ia << > — à dt: dt'24t

ne sont pas nulles aussi pour cette valeur de £ CNE

Lorsque les trois coefficients &i, 0, c, sont nuls à la fois, le point M, est, en général, un point singulier. Prenons, par exemple, la courbe plane définie par les deux équations x — 42,

Y =. Pour t=0o,onaa; —b, —0. L'origine est bien un point

singulier, car l’on tire des relations précédentes x — y#, et inver-

sement y —x*, et chacune des coordonnées est une puissance

fractionnaire de l'autre coordonnée.

Prenons, au contraire, la courbe plane définie par les formules æ = #2, J = &. Pour {= 0, on a encore a = b; = 0, et, cependant, l’origine n’est pas un point singulier puisqu'on a y = æ?. Mais on remarquera que, dans ce dernier exemple, à un point de la courbe correspondent deux valeurs différentes (Æ £) du paramètre.

Soient Z5, Yo les coordonnées d’un point M, d’une courbe plane C représentée par une équation F(x, y)—0, dont le premier

a SE ONE EE IS OS

(*) Ii est aisé de voir que cette propriété s'étend à toute transformation réversible, définie par des formules analytiques.

membre peut être développé en série entière ordonnée suivant les puissances de æ—x, et de 7 — Yo. Si les deux dérivées par-

. . . , . 0F , | est un point ordinaire. En effet, si “pd est pas nul, par exemple,

on déduit de l’équation F = o un développement de y — Yo suIvant les puissances de x — x, (n° 193).

uelles —, Sr € sont pas nulles pour x=%6, Y—Yo,le point M,

De même, soient æo, Yo, 39 les coordonnées d’un point M, d’une courbe gauche l représentée par un système de deux équations

(60) MÉT V2) 0: HA y, 5) 0;

dont les premiers membres sont des séries entières en 7 — o, Y—Yo, 3 — 39. Ce point M, est un point ordinaire pourvu que les trois déterminants fonctionnels

DCF, F1), D(F, F1) D(EF:) D(x, y) D(Yy, 3) D(z, x)

ne soient pas nuls à la fois pour += %,, Y—Yo, 3 —2%0. Si, par D(F,F;) D(x, 7) tirera des équations (60) des développements en séries entières pour æ—xs et y (n° 194).

Les énoncés sont pareils à ceux des n° 37 et 43, mais nous éta-

exemple, le déterminant n’est pas nul au point M,, on

Yo, ordonnées suivant les puissances de 3— 3,

blissons ici un résultat plus précis, puisque nous démontrons que les fonctions implicites dont 1l s’agit sont des fonctions analytiques de la variable indépendante.

Remarque I. — Considérons en particulier une courbe plane C, ce qui revient à remplacer la dernière des formules (59) par z = 0. Pour avoir l'aspect de la courbe dans le voisinage d’un point M,, il suffit d'observer que, pour les valeurs infiniment petites de {—4t,, x —xoet y — Yo ont respectivement les signes des premiers termes a»(t— t,)" et b,(£— to} dans les seconds membres.

Supposons 77 <n. Si m est impair (ce qui a toujours lieu pour un point ordinaire), la courbe a l’aspect habituel ou présente une inflexion, Si mest pair, la courbe présente un rebroussement, de première ou de seconde espèce.

Remarque IT. — Soit M, un point ordinaire d’une courbe analytique

plane C; supposons, par exemple, y — y développé suivant les puissances

de z— x, |

Si la tangente n’est pas parallèle à l’axe Ox, le coefficient c n’est pas nul, et l’on peut inversement déduire de la relation précédente le développement de æ— x, suivant les puissances de y — y. Il n’en est plus de même si la tangente au point M, est parallèle à Ox. Dans ce cas €, = 0, et le développement de y — y, commence par un terme de degré supérieur au premier en æ—#,; on ne peut plus appliquer le théorème général du n° 193. D'une étude qui sera faite plus tard (t. Il), il résulte que x —9 peut alors être développée en série entière ordonnée suivant les puissances fractionnaires de y — Yo.

199. Points doubles. — Reprenons encore l'étude d’une courbe plane analytique C dans le voisinage d’un point double. Ge point double étant pris pour origine, l'équation de la courbe ést de la forme |

(61) ax? +9202xy + 0 Yes: (r, M) 00)

les coefficients a, b, € n'étant pas nuls à la fois, et les termes non écrits formant une série entière en x et y, qui ési convergente dans le voisinage du point æ —y—o. Supposons de plus que nous ayons choisi les axes de façon que c ne soit pas nul. D’après une remarque déjà faite (p. 104, note), l'équation (61) ne peut admettre plus de deux racines réelles tendant vers zéro avec x; on démontrera plus tard qu’elle admet toujours deux racines, et deux seulement, réelles où imaginaires, qui tendent vers zéro avec x. On peut trouver aisément les expressions de ces deux racines lorsque b?— ac n’est pas nul.

1° Soit b?— ac >> 0. On peut encore écrire l’équation précédente, en divisant par c,

(62) F(x, y)=(y—ax)(y —Pzr)+o(x, Y)P—R, 2 et $ étant deux nombres réels différents. Si l’on pose Y =æ(1x+ u),

F[x, x (a+ u) | peut être ordonné suivant les puissances de x et de u (n° 192) et, en divisant par +?, il reste l'équation

(63) u(u are BJ =,

tous les termes non écrits étant nuls pour x — 0. D’après le théorème général (n° 193), cette équation admet une racine uw, s’annulant avec x, qui est développable suivant les puissances de x :

Ut = LT HU? +... ….

L'équation (62) admet donc aussi la racine y, (64) J1= GT + a+ dax...

et l’on verrait de même que cette équation admet une seconde racine

(65) Va= br + bix + Éame en

Par l’origine passent donc deux branches de courbe, et sur chacune d'elles, prise isolément, l’origine est un point ordinaire. En reprenant les raisonnements de la fin du n° 193, on voit aisément que F(x, y) peut se décomposer en un produit de trois facteurs

(66) Ft, J)= (y —y1)(y —J2)G + ax + cy +...),

ce qui met en évidence les deux racines y, et y, de l'équation (62) et montre de plus que cette équation n’admet pas d'autre racine tendant vers zéro en même temps que æ.

. 2° Soit b?— ac <o. Nous savons que l’origine est un point double isolé. Cependant, les calculs que nous venons d'indiquer s’'appliqueraient encore et conduiraient à deux séries convergentes (64) et (65), satisfaisant formellement à l’équation (62), mais avec des coefficients imaginaires. L’équation (62) admet donc dans ce cas deux racines imaginaires conjuguées infiniment petites avec x.

La méthode précédente s’applique aussi sans difficulté à l’étude d’une courbe analytique dans le voisinage d’un point multiple d'ordre quelconque p à tangentes distinctes.

3° Soit b?— ac = 0. Si l’on a pris pour axe des x la tangente au point double, l'équation est de la forme

(67) J'= Ait Bay + Cxy?+ Dyi+...…

Soient u + y» et u— y les deux racines infiniment petites. En rem-

492 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. — SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. plaçant y par u + ÿ+, l'équation devient