TT T

T hs. FTcos(m—n)r+cos(m+n)x à cos mxCOos nn x dx — © dr =0, simén, # a

Gant 11

+T ET : 1 + COS2Mm% cos? mx dx = — dx =Tr, Si mo,

+ T +T à ; cos(m—n)x—cos(m+n)x À sin mx sinnx dx = = dr =0, simén, TT 170 "

(ra TF1 cos2max LÉ sin? n x dx sfr — dx =r, si mzo,

HT URL NC + : sin(m+n)r +sin(m—n)x sinmæxcosnxdr — ——————————————— {dir 0e.

D} L7 "TT Ca

ut

Si nous intégrons les deux membres de l'égalité (71) entre les limites — x et + x, en intégrant le second membre terme à terme, il vient

[ Î(æ) dE Es dr = Ts; —T 2 /%

égalité d’où l’on tirera la valeur de à&,. Si l’on opère de même après avoir multiplié les deux membres de la relation (71) par cosmx ou sin AT, le seul terme du second membre dont l'intégration entre les limites — 7x et + rx donnera un résultat différent de zéro sera le terme en cos?mæx ou en sin?mx, et l’on parvient aux formules suivantes

+T +T 1 f(x) cosmax dr = Tam, 1 f(x) sinmax dx = Tb». — FT ——

Tr

Nous pouvons encore écrire les valeurs obtenues pour les coefficients

+ T : +T do = — 4 fa) da, am —= = J(a) cosma da, ne 17 EAN Tt

(73) | Le “ f(a)sinma du.

Le calcul qui précède pour déterminer les coefficients manque évidemment de rigueur et n’a qu'une valeur d’induction. On appelle série de Fourier toute série trigonométrique

ir da COSDES b, SNL ER... + An COST pe SIN NT +...,

dont les coefficients se déduisent d’une fonction intégrable f(x) par les formules (73). A toute fonction f(x) intégrable dans lintervalle (— x, +7) correspond une série de Fourier, mais 1l n’est nullement évident que cette série de Fourier est convergente et a pour somme f(x), pas plus qu’il n’est évident que la série de Taylor, déduite d’une fonction dont la suite des dérivées est illimitée, représente cette fonction (n° 179). Nous pouvons même affirmer qu'une série de Fourier ne représente pas toujours la foncuon qui lui a donné naissance. Soient, en eflet, f,(x), f(x) deux fonctions qui ne diffèrent que pour un nombre fini de valeurs de x entre —ret r; la série de Fourier sera la même pour ces deux fonctions (n° 74). Il y a donc une au moins des deux foncuons qui n'est pas représentée par sa série de Fourier pour toute valeur de x. Mais 1l résulte de l’expression même des coeffcients (73) que, si deux fonctions f(x), #(x) sont représentées par leurs séries de Fourier respectives, entre — x et ", il en sera de même de la fonction A f(x) + Bo(x), quelles que soient les constantes À et B.

Nous allons établir un système de conditions suffisantes pour qu'une foncuon f(x) soit développable en série de Fourier dans l'intervalle (— x, +7). Ces conditions, que nous appellerons, pour abréger, conditions de Dirichlet, sont les suivantes :

1° On peut partager l'intervalle considéré (— 7, +7) en un nombre int d’intervalles partiels ouverts, dans chacun desquels la fonction est monotone;

2° La fonction n’admet que des points de discontinuité réguliers:

La somme des 2m + 1 premiers termes de la série de Fourier déduite d’une fonction f(x) devient, en remplaçant les coefficients @;, bi par leurs valeurs (73) et effectuant les réductions évidentes,

S2m1 = =) f(x) Ë + Ccos(a—r)+cos2(a— x) +...+ cos m(a— s)| di. —T