II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. 57t

plan tangent au cône S' suivant On. Cela étant, la tangente mt à la courbe X, étant perpendiculaire aux deux droites Om, On, est perpendiculaire au plan mOn. Pour la même raison, la tangente nt! à la courbe ® est perpendiculaire au plan mOn. Ces deux droites sont donc parallèles.

233. Développement de x, y, z, suivant les puissances de s. — Étant données deux fonctions d’une variable indépendante s, R=vo(s), T—4%(s), dont la première est positive, il existe une courbe gauche FT, qui est complètement définie, abstraction faite de sa position dans l’espace, dont Le rayon de courbure et le rayon de torsion s'expriment par les formules précédentes au moyen de l’arc compté à partir d’un point de cette courbe. La démonstration rigoureuse de cette proposilion ne peut être faite qu'après la théorie des équations différentielles. Nous allons montrer seulement comment on peut trouver les développements des coordonnées d’un point de la courbe cherchée suivant les puissances de s, en admettant la possibilité de ces développements. Prenons pour axes de coordonnées la tangente, la normale principale et la binormale au point O à partir duquel on compte l’arc; les coordonnées d’un point de la courbe cherchée, voisin de l’origine, ont pour expressions

Mais on a

TR dx __dx PET EL FE Car Fr

et, en différentiant de nouveau,

et, d’une façon générale, on obtient, par l’emploi répété des for-

; , drœ mules de Frenet, l’expression de ? ds" dx : À

Ly, My, Py étant des fonctions connues de R, T et de leurs dérivées successives par rapport à l'arc. On aurait de même les dérivées successives de y et de 3 en remplaçant æ, a/, a’, par fi, f, P° et y, Yh Ÿ. Mais on a, pour l’origine, 4 = 1, fo—=0,Yo= 0,20; Bay oO 0 0 0 M El OEM MOSS (36) deviennent, en se bornant aux termes en s, s?, 5°,

ar AR Sè Pi TUE RAT s? SAR (282 RSR Too Prémmnr

les termes non écrits étant de degré supérieur au troisième. On dR

à ® Fr suppose, bien entendu, KR, T, ee

» ... remplacés par leurs valeurs

pour $ — 0.

Ces formules permettent de calculer aisément la partie principale de certains infiniment petits. Ainsi, la distance d’un point voisin de la courbe au Dee osculateur est du troisième ordre et sa