II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES

trorsum en un point où Test négalif. Ce serait le contraire avec une disposition différente du trièdre Oxyz.

232. Formules de Frenet. — Chaque point M de la courbe F est le sommet d’un trièdre trirectangle, de même disposition que le trièdre Oxyz, formé par la tangente, la normale principale et la binormale. La direction positive de la normale principale est bien déterminée, tandis que la direction positive de la tangente peut être prise arbitraireinent et détermine celle de la binormale. Les différentielles des neuf cosinus directeurs à, B, y:... s’expriment très simplement au moyen de R, de T et de ces cosinus euxmêmes, par des formules dues à Frenet. Nous avons déjà obtenu les formules qui donnent du, dé, d,

{ 32) fe = ‘4 a8 — La dy es Ne ds R ds R ds R Soient Rad , rss PRES NT = Se ÉrsR V'A2+ B2+ C2 VA2+ B?+ C2 V'A2+ B2+ C2

les cosinus de la direction positive sur la binormale. Le trièdre (MT, MN, MN;) ayant la même disposition que le trièdre Oxyz,

on doit avoir

! eu (ACT fi —— 072 "/ : de PA (et 0 ou SA el ! Bs0GS

D'autre part, la formule qui donne do” peut s’écrire

B(B dA — À 4B) + C(C dA — A dC)

da" = €

Ou, en tenant compte des relations (28) et de la valeur de K,

; Il :

Le coefficient de +! n’est autre chose que y Mormule (31)]; on

calculerait de même d®/ et d", et nous avons les formules (!)

da a de” B' 4 Y ss NT OP PTE CU me tout à fait pareilles aux formules (32 ).

Pour avoir da!, dB', d'y’, différentions les relations bien connues

a? 02 re 1 de I

au + PR+ yY =0, d'O' e B' G" — YY = 0,

ce qui donne, en remplaçant da, dB, dy, dx”, d£”, dy par leurs valeurs tirées des formules (32) et (35),

x dx'+ B'ds' + y dy = 0,

a du'+ 8 df'+ y dy + ë = 0,

ds a da' + of ds" + à Y + T — 0

nous n'avons plus qu’à tirer da', d$", dy’ de ces relations

PAR 0 1 R Les formules (32), (33), (34) sont les formules cherchées.

Remarque. — Les formules (35) montrent que la tangente à la courbe sphérique 6 décrite par le point » de coordonnées 2e 8", y’, est parallèle à la normale principale. C’est ce que montre aussi la Géométrie. Considérons, en effet, le cône S' de sommet O ayant pour directrice la courbe 6 ; la génératrice On est perpendiculaire au plan tangent au cône S suivant Om (n° 231), el par conséquent le cône S' est supplémentaire du cône S. Mais on sait qu’il y a réciprocité entre deux cônes de cette espèce, de sorte qu’inversement la génératrice Om de S est perpendiculaire au

I A 1) Si l’on avait écrit la formule qui donne la torsion, == il (9) q TA EB-HCA

aurait fallu écrire les formules de Frenet

AT ds du = T