II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES

On démontre par un calcul tout pareil que la plus courte distance entre la tansente à l’origine et la tangente en un point infiniment voisin est un infiniment petit du troisième ordre dont Ja

: 8 ï s arte principale est ———— M PO SUURT

. Ce théorème est dû à M. Bouquet.

934. Équation intrinsèque.— Lorsque le rayon de torsion T est infini, la courbe est plane, puisque A doit être nul (n° 225), et, dans ce cas, les équations différentielles qui déterminent la courbe s’intègrent par des quadratures.

Imaginons qu’on ait pris pour variable indépendante Parc s; les coordonnées rectangulaires æet y sont des fonctions de s satisfaisant aux deux équations (n° 228 : Remarque ;

Ex dx 2 dy \ 2? fs dx Fa dy 2} 1h xt 2 TARN ES ENS =

On satisfait à la première de ces relations en posant —- = cos,

x Ps: sin &, à désignant l'angle que fait avec Oz la direction positive de la (a

tangente, et la seconde des relations (37) nous donne alors

da = +

formule qu’on aurait pu écrire immédiatement d’après la définition du rayon de courbure.

On en tire x par une quadrature

S ds éme ie TA o(s)

On a ensuite zet y par deux nouvelles quadratures

$ HS % = a+ [ cos à ds, Y = | sin à ds.

So “So Ces courbes dépendent de trois constantes æo, Yo; %o; Mais, si l’on n'a égard qu’à la forme et non à la position, on n'obtient en réalité qu’une seule courbe. Considérons, en effet, la courbe particulière G représentée par les formules

S : s s À ) jh cos fe ME ds, Y ik sin ll “ ds, LE e 24 CO ( S ) 57 e So ® (s )

les formules générales peuvent s’écrire, en prenant d’abord le signe +,

æ = æo+ X cosay— YŸ sin,

Y=ÿo+ X sinay+ Ÿ cos;

ce sont les formules qui définissent une transformation de coordonnées. En prenant, de même, le signe — devant vw (s), on obtiendrait une courbe symétrique de la courbe C. Une courbe plane est donc complètement déterminée, quant à la forme, si l’on connaît le rayon de courbure en fonction de l'arc. L’équation R=v(s) s'appelle l’éguation intrinsèque de la courbe. D'une façon plus générale, si l’on connaît une relation entre deux des quantités R, s, x, la courbe est complètement définie de forme, et l’on peut obtenir les coordonnées par des ;jquadratures. Ainsi, si l'on connaît R en fonction de l'angle 4, R — f(x), on a ds = f(a) da, puis

dx = cosa f(a) da, dy = sina f(x) da;

et l’on obtient x et y par deux quadratures. Par exemple, si R est constant, on déduit de ces formules

æ=%po—+Rsina, Y =Yo—Rcosa;

la courbe cherchée est donc un cercle de rayon R, résultat évident d’après la propriété de la développée. L’arc de cette développée devant être nul, il est clair, en effet, qu’elle doit se réduire à un point.

Proposons-nous encore de trouver une courbe plane dont le rayon de

courbure soit inversement proportionnel à l'arc, R ——; on a d’abord s

puis

Quoiqu'on ne puisse pas obtenir ces intégrales sous forme explicite, il est facile de se faire une idée de la forme de cette courbe. Lorsque s croît de o à, æ et y tendent vers une limite finie, en passant par une infinité de maxima et de minima; la courbe a donc la forme d’une spirale, avec un point asymptote sur la droite y == x.

235. Développantes et développées. — On dit qu’une courbe F, est une développante d’une autre courbe F, si les tangentes à la courbe l font partie des normales à la courbe l',; inversement, la courbe Fest dite une développée de T,. Il est clair que toutes les développantes d’une courbe T sont situées sur la développable dont l'est l’arête de rebroussement et coupent orthogonalement les génératrices.

Soient +, y, z les coordonnées d’un point M de T'; «, , yles.