II. — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES

cosinus directeurs de la tangente et / le segment MM, compris entre le point M etle point M, où une développante coupe la tangente en M; on a, pour les coordonnées de M,,

id la, Yi=Y +8, Z1—= 3 +ly et, par suite,

dx; = dx + l'du + à dl, dy1 = dy + l'df +6 dl, ds, = ds +l dy +7 dl.

Pour que la courbe décrite par le point M, soit normale à MM,, il faut et il suffit que l’on ait 2dx, + fdy,;+ydz;—o, c'està-dire a de +8 dy + y ds + dl + l(a du + 8 d$ +ydy)=0,

relation qui se réduit à ds + dl— 0. On obtient donc les développantes d’une courbe gauche F par la même construction qui donne les développantes d’une courbe plane.

Proposons-nous maintenant de trouver les diverses développées d’une courbe F, c’est-à-dire d'associer les normales à cette courbe

Fig. 42.

suivant une loi continue, de façon à obtenir une surface développable (fig. 42).

Toute normale MM, est déterminée par l'intersection du plan normal en M à T avec un plan passant par la tangente à l. Si cette normale MM, a une enveloppe, le point de contact M, de cette droite avec son enveloppe est situé sur l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment voisin (n° 215, #emarque I),

c’est-à-dire sur la droite polaire. Toutes les développées sont donc sur la surface polaire. |

Soient D une de ces développées, © l’angle que fait la direcuon MM, avec la direction positive de la normale principale, cet angle étant compté comme en Trigonométrie, le sens de rotation

4 p c T , DOSILIL dans 1e an normal etan e sens da une rOoLalLIiOn QE — QUI positif dans le pl | étant | L tation de = q

amènerait la direction positive de la normale principale sur la direction positive de la binormale (fig. 42) Si À, x, y sont les cosinus directeurs de cette direction, pour que la droite MM, engendre une surface développable, il faut et il suffit qu’on ait (n° 215)

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