PL PAT T

Si l’on considère deux valeurs de l’angle ©, correspondant à deux valeurs différentes de la constante Co, la différence de ces deux angle reste constante tout le long de la courbe F. On voit donc que deux normales de la courbe T, qui sont tangentes à deux développées différentes, se coupent sous un angle constant. Si. l’on connaît une famille de normales à F engendrant une surface développable, on obtiendra toutes les autres développables formées de normales, en faisant tourner les premières d’un angle constant, d’ailleurs arbitraire, autour du point où elles coupent F.

Remarque I. — Si la courbe LT est une courbe plane, T est infini, et la formule précédente donne @—%. La développée qui correspond à la valeur vo = 0 est la développée plane ordinaire qui est aussi le lieu des centres de courbure. Les autres développées, en nombre infini, sont situés sur le cylindre ayant pour section droite la développée ordinaire : ce sont des courbes sauches, appelées hélices, qui seront étudiées au paragraphe suivant. Ce cas est le seul où le lieu des centres de courbure soit en même temps une développée. Pour que la relation (40) soit vérifiée en prenant © = 0, il faut que T soit infini ou que À — 0. La courbe est donc une courbe plane {n° 295). |

Remarque II. — Si la courbe D est une développée de FT, inversement [est une développante de D. On a donc, en appelant s,

a — UN

(*) Ce résultat si simple peut s'expliquer par des considérations de Géométrie infinitésimale. En négligeant lesinfiniment petits du troisième ordre,un point M'de FT voisin de M peut être supposé sur le cercle osculateur en M, la tangente en M’ étant la tangente au cercle. Pour que deux normales en M et en M'se ren- Contrent, 1l faut et il suffit que ces deux droites fassent le même angle avec le plan osculateur en M. Or, l’angle des deux plans osculateurs en M et M'est égal

ds : ; cyan : : : »

à T ? d’après la définition mème de la torsion. L’accroissement dv de l’angle que

: ; ds fait la normale avec le plan osculateur correspondant est donc égal à T quand on passe du point M au point M' infiniment voisin. C’est bien le résultat obtenu

par le calcul.