SE D

l'arc de la développée compté dans un sens convenable, ds, = d(MMi);

les développées d’une courbe sont donc des courbes rectifiables.

996. Hélices. — Soit GC une courbe plane quelconque ; si, de chaque point » de cette courbe, on porte sur la perpendiculaire au plan de C une longueur mM proportiounelle à l'arc de la courbe C, compté à partir d’un point fixe A, le lieu du point M est une courbe gauche T, appelée hélice. Prenons pour plan des æy le plan de la courbe CG, et soient

les expressions des coordonnées d’un point m de G en fonction de l'arc 5; les coordonnées du point correspondant M de la courbe F seront

(41) z=f(s) y=e(s) 2=Ko,

K étant un facteur constant. Les fonctions f et vérifient d’ailleurs la relation f?+v'?=1. Des formules (41) on tire, en appelants l'arc de F,

ds? = (f?+ + K2) dst= (1+ K?) do?

et, par suite, $ —oyÿ1+K?+H;si l’on compte les arcs s et s à partir d'un même point À de la courbe G, ce qui revient à faire H=o, on aura s—0yÿ1+K?. Les cosinus directeurs de la tangente à l'ont pour valeurs

AS 8 p(s) 1 LISA

ER TRY { Vi+Kk

y étant indépendant de 5, on voit que la tangente fait un angle constant avec Oz. Cette propriété est caractéristique : Toute courbe dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe est une hélice. Pour le démontrer, prenons l’axe des 3 parallèle à cette direction, et soit C la projection de la courbe considérée F sur le plan des xy ; on peut toujours écrire les équations de la courbe T

(43) me J\c)s Pie Po TEA

les fonctions f et v satisfaisant à la relation f?+v'?=1,ce qui revient à prendre pour variable indépendante l’arc os de la courbe C. On en déduit

da Y'(c) y 4 = ————…—…—__—<<—— — a ds Vf2+ 02+ ME Vi+ 2 pour que y soit constant, il faut et il suffit que {’ soit constant et, par

suite, que Ÿ (æ) soit de la forme Ko + 2. Les équations de la courbe F seront de la forme (41), en choisissant convenablement l'origine.

Il: — COURBURE ET TORSION. — DÉVELOPPÉES. : 579

NUE La ke | :

La formule 4 = K0S donne ici, puisque Y est constant, y = o. La

normale principale est donc perpendiculaire aux génératrices du cylindre; comme elle est, en outre, perpendiculaire à la tangente à l’hélice, c’est la normale au cylindre, et le plan osculateur est lui-même normal au cylindre. La binormale est donc située dans le plan tangent au cylindre et perpendiculaire à la tangente ; ce qui montre qu’elle fait aussi un angle constant avec Oz.

dy' Y vi s x La formule =-i-t nous donne ensuite, puisque T0:

L TT — 0; ce qui prouve que, dans une hélice, le rapport R °$t Constant.

Ces diverses propriétés sont Caractéristiques d’une hélice. Démontrons, R

par exemple, que toute courbe, pour laquelle le rapport m ‘5 con-

Stant, est une hélice. (BARRÉ DE SAINT-VENANT et J. BERTRAND.) On tire des formules de Frenet

si H est constant, on aura en intégrant a'— Ha — A, BTERe — B. Y=Hy—cC,

À, B, C désignant trois nouvelles constantes. Ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par 2, 8, y : il vient

Aa + B$£+Cy ES H, ce qu’on peut écrire

Au+BB+Cy H VA?+B?+C YA?+B?+ CG A B C

mais sont les cosinus

VAr+B?EC VATLB+C VAT RC directeurs d’une certaine droite A, et la relation précédente exprime que la tangente fait un angle constant avec cette direction; la courbe considérée est donc une hélice.

Galculons encore le rayon de courbure. On a, en se reportant aux va leurs trouvées plus haut (42) pour a, P, a’ ds

J [/4 . I [/274 D di AIR da Rire