I. ——- COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
Les points qui satisfont à ces conditions s'appellent des ombilics. En ces points, l'équation (25) se réduit à une identité, ce qui s'explique puisque tout diamètre d’un cercle est un axe de symétrie. Dans le cas d’une surface représentée par une équation z— F(x, y), les équations (24), (25), (27) deviennent respectivement
ed) Gene po pgs + (gr (rpg) 0; (25 &[(Q+p?}s — pgr] +af[a+p?—(G+agt)rlæBipat—G+ag)s]=o, fr s (A
Ha Ip pq 1+4
On peut les déduire, comme cas particulier, des formules générales, ou les établir directement en partant de la formule (15).
On peut quelquefois déterminer, par des considérations géométriques, les sections normales principales d’une surface. Par exemple, si une surface S admet un plan de symétrie passant par un point M de cette surface, 1l est clair que la droite d’intersection de ce plan avec le plan tangent en M est un axe de symétrie de l’indicatrice, et la section par le plan de symétrie est une des sections normales principales. Ainsi, en un point d’une surface de révolution, la méridienne est une des sections normales principales ; le plan de la seconde section normale principale passe donc par la normale à la surface et la tangente au parallèle. Or, on connaît le centre de courbure de l’une des sections obliques passant par la tangente au parallèle, le centre du parallèle lui-même. Il en résulte, d’après le théorème de Meusnier, que le centre de courbure de la seconde section principale est au point de rencontre de la normale à la surface avec l’axe.
En un point d’une surface développable, on à s°—rt—o, et Pindicatrice est un système de deux droites. Une des sections. principales se confond avec la génératnice elle-même, et le rayon de courbure principal correspondant est infini. Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la génératrice. Tous les points d’une surface développable sont paraboliques, et ce sont les seules surfaces possédant cette propriété (n° 214).
Si une surface non développable est convexe en certains points, à courbures opposées en d’autres points, elle possède, en général,
une ligne de points paraboliques qui sépare les régions pour lesquelles s? — r£ est positif des régions pour lesquelles s?— 7't est
négatif. Par exemple, sur le tore, cette ligne est formée des deux parallèles extrêmes.
Sur une surface convexe, il n’y a, en général, qu’un certain nombre d’ombilics isolés les uns des autres. On démontre comme il suit que la seule surface réelle dont tous les points sont des ombilics est la sphère.
Appelons encore }, na, v les cosinus directeurs de la normale à la surface; en différentiant les formules (12), il vient
Où __ pqgs—(1+q?)r OX pgt—(i+ g?)}s = —————— — ;, —— EE —————————— 3
0 3 Ô 3 F G+pt+g) 7 G+pi+g} VO A 22 Léa ent D À ou __ pgs—(1+p?}é Dretrant La Ti ee" rt FRET A GO
D. 3 QT PET (14 PE
relations qui deviennent, en tenant compte des formules (27),
ONU É OR À dp y NERU dm © 0æ 0 La première prouve que À ne dépend que de x, la seconde que x ne dépend
LU r 2À 0 N . . , que de y; la valeur commune des dérivées ss est donc à la fois indé- : x’ 0y
pendante de x et de y : c’est une constante —. On en tire a
LAS OTTS Aer Le Ve (GTR SCENE ae ? MPenlime ere, je PR EE (42 a pe P = ‘e Fe is he DU TT —=—— — ÿ
Var (x — To) —(Y — Yo) et la valeur de 3 obtenue par l'intégration est
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on retrouve bien l’équation d’une sphère. On verrait de même que, si l’on OÀ ou ; É
DE "7 — 0, la surface est un plan. Mais les relations (27) admettent
en outre une infinité de solutions imaginaires, qui satisfont à l'équation
1+p?+g?= 0, comme on peut le vérifier en différentiant cette relation
par rapport à x et par rapport à y.
