II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

943. Lignes asymptotiques. — Sur une portion de surface à courbures opposées, il y a en chaque point deux tangentes pour lesquelles la section normale correspondante a un rayon de courbure infini : ce sont les asymptotes de Tindicatrice. On appelle lignes asymptotiques les lignes situées sur la surface qui sont tangentes en chacun de leurs points à l’une de ces asymptotes. Quand on se déplace sur une de ces lignes, w et sont fonctions d'une variable ; pour que la tangente coïncide avec une asymptote de l’indicatrice, du et dv doivent satisfaire, d’après ce qu’on a vu plus haut, à la relation

(28) D du? + 2D' du de + D" dv? = 0.

Les coefficients D, D’, D’ étant des fonctions de w et de v, on 2 V ” Là r de tire de l'équation précédente deux valeurs de Er

do do (29) GE ÉEe ou, 0), “14 =Æ Do(u, e);

du nous démontrerons plus tard que chacune de ces équations admet une infinité d’intégrales, et que chaque couple de valeurs (45, #0) détermine en général une intégrale et une seule. Par chaque point de la surface, il passe donc en général deux lignes asymptotiques et deux seulement. L’'équation différenuelle (28) peut encore s’écrire sous la forme équivalente

(30) dA dx + dB dy + dG dz = 0,

qui est en général la plus commode dans les applications. Dans le cas d’une surface représentée par l'équation 5 = F(+x, y), l'équation différentielle précédente devient

(31) dp dx + dq dy =r dx?+2s dx dy +tdy?= 0.

On peut encore définir les lignes asymptotiques par la propriété suivante qui ne fait intervenir aucune relation métrique. Ce sont les lignes de la surface dont le plan osculateur coïncide avec le plan tangent. En eflet, pour que le plan osculateur coïncide avec le plan tangent, il faut et 1} suffit qu'on ait à la fois

A dx + B dy + C dz = 0, A dx+Bdy+Cdz=o;

la première relation est vérifiée pour toute courbe située sur la surface, tandis que, d’après l'identité (6), la seconde est identique à l'équation (30). D'ailleurs, il est facile de se rendre compte de lidentité des deux définitions. Le rayon de courbure de la section normale tangente à une asymptote de l’indicatrice étant infini, il en serait de même, d’après le théorème de Meunier, du rayon de courbure d’une ligne asymptotique, à moins que le plan osculateur ne soit perpendiculaire à la normale et, dans ce cas, le théorème de Meusnier devient illusoire. Le plan osculateur à une ligne asymptotique doit donc coïncider avec le plan tangent, à moins que le rayon de courbure ne soit constamment infini ; dans ce cas, on aurait une ligne droite, dont le plan osculateur estindéterminé. Il résulte évidemment de cette propriété que les lignes asymptotiques se conservent dans toute transformation homographique. On voit aussi que l'équation différentielle est la même, que les axes soient rectangulaires ou obliques, car l'équation du plan osculateur est toujours la même.

Les lignes asymptotiques d’une surface S n'existent évidemment que si la surface est à courbures opposées. Cependant, lorsque la surface est analytique, l'équation différentielle (28) admet tou- Jours une infinité d’intégrales, réelles ou imaginaires, quel que soit le signe de D’? — DD". Parextension, nous dirons qu’une surface convexe analytique admet deux systèmes de lignes asymptotiques imaginaires. Ainsi, les lignes asymptotiques d’un hyperboloïde à une nappe sont les deux systèmes de génératrices rectilignes ; pour un ellipsoïde ou un hyperboloïde à deux nappes, ces génératrices sont imaginaires, mais elles satisfont encore à l’équation différentielle des lignes asymptotiques.

Exemples. — 1° Soit à trouver les lignes asymptotiques de la surface