II. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

développée d’une surface pour former l'équation aux rayons de courbure principaux. Remplaçons, dans les formules (45), À, &, y par les valeurs (8), et posons R — oVA?2+ B?+ C?; elles deviennent

X =æ%— pA, Y = y — 9B, ZL = 3 — p0C.

Puisque le point X, Y, Z décrit une courbe tangente à la normale à la surface S, lorsque le point (æ, y, 5) décrit une ligne de courbure, on doit avoir

dx —odA—Ado dy —odB—B do dz — o dO —C dp

== ZT |

ou, en appelant — 4: + K la valeur commune de ces rapports, (43) dæ —odA —-AK=0o, dy —6dB—BK=o, dz— 9 dG—CK=o.

En éliminant p et K entre ces trois relations, on retrouve l'équation différentielle (38) des lignes de courbure; mais si l’on

remplace dx, dy, ds, dA, dB, dC par