LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE

sont tangentes toutes les normales de S. Les deux surfaces Y, Y ne sont pas, en général, analytiquement distinctes, mais constituent deux nappes d’une seule surface représentée par une équation indécomposable.

La normale MN à la surface S est tangente à ces deux nappes Ÿ etZ”, aux deux centres de courbure principaux A et A! de la surface S au point M. Il est facile de trouver les plans tangents à ces deux nappes aux points À et À’ (fig. 43). Lorsque le point M décrit la

Fig. 43.

courbe GC, la normale MN engendre une surface développable D ayant | pour arête de rebroussement; d’autre part, le point de contact À’ de cette normale MN avec Y’ décrit une courbe y/ distüincte de l”, car la droite MN ne peut rester tangente à la fois aux deux courbes F et T’. La développable D et la surface Y/ sont donc tangentes au point À’, et, par suite, le plan tangent en A à Yest tangent à la développable D le long de MN; c’est donc le plan NMT, passant par la tangente à GC. On verrait de même que le plan tangent à la surface Ÿ au point À est le plan NMT’ passant par la tangente à la seconde ligne de courbure C/.

Les deux plans NMT, NMT' sont rectangulaires, ce qui conduit à une propriété importante de la développée. Imaginons que d’un point quelconque © de l’espace on abaisse une normale OM sur la surface S, et soient À et A' les centres de courbure principaux de S sur cette normale. Les plans tangents aux points À et A’ aux deux

nappes X, ©’ de la développée sont orthogonaux; comme ces plans tangents passent au point O, on voit que les deux nappes de la développée d’une surface S, vues d’un point quelconque O de l'espace, paraissent se couper à angle droit. La réciproque de cette propriété sera démontrée plus loin.

948. Formules d’Olinde Rodrigues. — Désignons toujours par À, u, y les cosinus directeurs de la normale à la surface, par R un rayon de courbure principal; les coordonnées du centre de courbure correspondant sont

(45) X = æ + RÀ, Y= y+Re, Z = 3 + Rv.

Lorsque le point (x, y, 3) décrit la ligne de courbure tangente à la section normale dont le rayon de courbure est R, ce centre de courbure décrit, nous venons de le voir, une courbe F tangente à la normale MN de S. On doit donc avoir

ax! AY À 0) ie DES ou, en remplaçant X, Y, Z par les valeurs (49),

dx +Rdi dy +Rdyp ds +Rd.

À ris ue y :

la valeur commune de ces rapports est zéro, car si on les combine par addition après avoir multiplié les deux termes du premier par À, ceux du deuxième par u, ceux du troisième par y, on a un rapport équivalent dont le dénominateur est l'unité, tandis que le numérateur

À de +u dy + v da + R(X d\ + p du +v dv)

est identiquement nul. Nous obtenons ainsi les formules d'Olinde

Rodrigues (46) dx + RdÀ=o, dy + Rdu =, dz + Rd =,

qui jouent un rôle important dans la théorie des surfaces. Bien entendu, ces formules ne s'appliquent qu'à un déplacement du point (x, y, z) sur une ligne de courbure.

Remarque. — On peut aussi se servir des propriétés de la