RE D

Cherchons encore, comme application, les rayons de courbure principaux de l’hélicoïde gauche à plan directeur. On a, dans ce cas, en modifiant un peu les notations employées plus haut,

HU COS, ÿ =usin?, 3 = &,

À = asinp, B = — a cose, (GR A7:

et l'équation (48) se réduit à

HRRQNE a° +.u*? AC d'où l’on tire R=+——. Les rayons de courbure principaux de a

l'hélicoide sont donc égaux en valeur absolue et de signes contraires.

249. Théorème de Joachimsthal. — On peut quelquefois trouver par des considérations géométriques les lignes de courbure de certaines surfaces. Ainsi, 1l est à peu près évident que les lignes de courbure d’une surface de révolution sont les méridiens et les parallèles de cette surface, car ces courbes sont tangentes en chacun de leurs points à l’un des axes de l’indicatrice. Comme vérification, nous remarquerons que les normales le long d’un méridien forment un plan, et les normales le long d’un parallèle un cône de révoluton, c’est-à-dire des surfaces développables.

Sur une surface développable, une première famille de lignes de courbure est formée des génératrices. La seconde famille se compose des trajectoires orthogonales des génératrices, c’està-dire des développantes de l’arête de rebroussement (n° 235); elles s’obtiennent par une quadrature. Si l'on connaît l’une d'elles, on peut en déduire toutes les autres sans quadrature. Tous ces résul- Lats sont faciles à vérifier par le calcul.

La théorie des développées d’une courbe gauche a conduit Joachimsthal à un théorème important, souvent utilisé dans cette théorie. Soient S, S' deux surfaces se coupant suivant une courbe C, ligne de courbure pour chacune d’elles; la normale MN à la surface S le long de C engendre une surface développable, et la normale MN/ à la surface S’ le long de G engendre une autre surface développable. Or, ces deux droites sont normales l’une et l’autre à la courbe C. Par suite, st deux surfaces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous un angle constant tout le long de cette ligne (n° 235).

Réciproquement, st deux surfaces se coupent sous un angle constant, et st la courbe d'intersection est une ligne de courbure pour l’une d'elles, elle est aussi une ligne de courbure pour la seconde. On sait en effet que, si une famille de normales à une courbe gauche C engendre une surface développable, il en est de