IT. — LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES DE COURBURE. O
même des normales obtenues en faisant tourner chacune d’elles d'un angle constant dans le plan normal à C.
Toute courbe plane ou sphérique est une ligne de courbure du plan ou de la sphère. On déduit denc du théorème de Joachimsthal le corollaire suivant : Pour qu'une courbe plane ou sphérique située sur une surface soit une ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que la surface coupe le plan ou la sphère sous un angle constant.
250. Théorème de Dupin. — Nous avons déjà parlé à diverses reprises des systèmes triples orthogonaux (n° 68, 147). L'origine de cette théorie remonte à un théorème célèbre, dû à Dupin, que nous allons établir :
Etant données trois familles de surfaces formant un système triple orthogonal, l'intersection de deux surfaces de familles différentes est une ligne de courbure pour chacune
d'elles.
Supposons les coordonnées rectangulaires æ, y, 3 d’un point de l’espace exprimées au moyen des trois paramètres u, P, æ, de façon que les trois familles de surfaces (u), (v), (æ) forment un système triple orthogonal. Les conditions d’orthogonalité sont exprimées par les trois relations (n° 68)
0x 0x S 0x 0x ox 0x
(49) brins ae I DT LE
En différentiant ces relations par rapport à w, 0, respectivement, 1l vient
OEU 02e Fee ox dx s ox dx dx dx 4
— PE ©, — —— - —. Es*0;
de du d®w dw du 0e dæ du de du dv dw VOTOnT ox dx
— —— + — 0 ; ou dvd0w de du dw à
d’où l’on déduit, par des combinaisons faciles,
2E s ox dx ; ox dr F4 S ox 0?x à 350 — = — — —= — ——— —= (397 Ou AU 0Ww CV de du dw 3 dæœ du dp
TR : ALI COR AND PAR % L’éliminauon des dérivées —; T, Æ entre les deux premières dæ 0æ dæ
équations (49) et la dernière équation (50) conduit à la condition
ox 0Y ds
du ou du ox dy 03 "ra de de dp pans.
x PY 023 du dv dudv du odv
qui exprime que, sur une surface (æ), les courbes u = CG, = C forment un réseau conjugué. Ce réseau, étant à la fois orthogonal et conjugué, est donc composé des lignes de courbure, ce qui démontre le théorème énoncé.
Un exemple bien remarquable de système triple orthogonal est fourni par les surfaces homofocales du second degré (n° 148), dont l'étude a sans donte conduit Dupin au théorème général. 11 résulte de ce théorème que les lignes de courbure d’un ellipsoïde où d’un hyperboloïde (qui avaient déjà été obtenues par Monge) sont les courbes d’intersection de cette surface et des surfaces du second degré homofocales à celle-là. |
Les paraboloïdes représentés par l'équation
où À est un paramètre variable, forment aussi un système triple orthogonal, ce qui nous donne les lignes de courbure du paraboloïde. Citons encore le système triple rencontré plus haut (n° 246)
a, Væ? + 22 + Vy2+ si 5, vx? + 22— Vy!+ 2? = 7.
La recherche des systèmes triples orthogonaux est un des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles de la Géométrie infinitésimale. Il a fait l’objet d’un grand nombre de Mémoires dont on trouvera les résultats résumés dans un récent Ouvrage de M. Darboux (!). Une surface quelconque S appartient à une infinité de systèmes triples orthogonaux; l’un de ces systèmes est formé par les surfaces parallèles à S et par les deux familles de surfaces développables engendrées par les normales à S le long des lignes de courbure de cette surface. Soient, en effet, O un
(:) Lecons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, 1910.
