Suites convergentes. — Considérons une suite indéfinie de

Pare) CHAPITRE Ie — INTRODUCTION.

nombres (1) So S1, S2, +…s, Sn, CRUE

dont chacun occupe un rang déterminé; cette suite est dite convergente sis, tend vers une limite S lorsque le rang n augmente indéfiniment. Toute suite, qui n’est pas convergente, est dite divergente ; cela peut arriver soit que |s, | finisse par rester supérieur à tout nombre donné à l’avance, soit que s, ne tende vers aucune limite, sans que sa valeur absolue augmente indéfiniment.

Une suite est dite croissante, si l’on a, quel que soit », Say — Sn20. Elle est dite décroissante, si l'onvas/4se, quel que soit ».

Toute suite croissante, dont le terme général rn'augmente pas indéfiniment, est convergente.

En effet, les nombres de la suite (1) forment alors un ensemble borné (E). Soit M la borne supérieure de cet ensemble; & étant un nombre positif quelconque, il existe un nombre s,, de la suite (1) supérieur à Mc. Pour toute valeur de n» supérieure à mn ON à Sn 2 $m, Et par suite M — e << s, <M. La différence M —s,est donc plus petite que €, si l’on a n 2 m ; ce qui revient à dire que sy» a pour limite M lorsque n augmente indéfiniment. On démontre de même que toute suite décroissante, dont le terme général reste plus grand qu'un nombre fixe, est convergente (!).

Le crilerium général de convergence d’une suite se déduit aisément de la considération de la plus grande des limites.

Pour que la suite (1) soit convergente, il faut et il suffit qu'à

tout nombre positif e on puisse faire correspondre un nombren tel que la différence Sntp — Sn Soit moindre que € en valeur absolue, quel que soit le nombre entier positif p.

La condition est nécessaire. En effet, si s, a pour limite S lorsque À augmente indéfiniment, on peut trouver un nombre » assez

1 A Z , LA L (‘) Le même raisonnement permet de démontrer plus généralement qu’un

nombre variable +, qui ne va jamais en décroissant, tout en restant plus petit

qu'un nombre fixe, tend vers une limite, ou qu'un nombre æ, qui ne va jamais en croissant et qui reste plus grand qu’un nombre fixe, tend vers une limite.

Le

I. — LIMITES. — ENSEMBLES. 9 grand pour que toutes les différences S —5,, M AS

S — Snyp, .-. Soient inférieures en valeur absolue à … La valeur

absolue de 5,;n— 5h sera donc moindre, quel que soit p, que 2 Se D)

La condition est sufjisante. En effet, soit « un nombre positif quelconque. Par hypothèse, il existe un nombre entier » tel que la valeur absolue de s,;p— S, soit inférieure à e, quel que soit p. Il s'ensuit que tous les termes de la suite (1), à parur de 5x, sont compris entre s,—eets,+e;il n’y a donc qu’un nombre fént de termes de celte suite qui ne soient pas compris dans l'intervalle (Sn—€, Se). Il en résulte que la plus grande des limites S de cet ensemble ne peut être inférieure à sy —e, n1 supérieure à Se. On a donc |[s, — S|£e, et de l'identité

Sn+p— ME (Sn+p — Sn) + (Sn — S)

on déduit que la valeur absolue de sy}p — S est inférieure à 2€, quel que soit p. Or & est un nombre positif arbitraire; par conséquent, s, a pour limite S.

Si la suite (1) ne renfermait que Æ nombres différents, pour que cette suite fût convergente, il faudrait évidemment qu’à partir d'un certain rang tous les termes fussent égaux. Ce cas singulier rentre donc dans la règle générale.

Étant donnée une suite infinie quelconque, dont le terme général est w», on dit que la série

(2) Ugo +... + Unte..

est convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série

Sp — Uo, Sy — Ugo + Ui, …..., Sn —= ET En one OP AT te .

est elle-même convergente. SoitS la limite de cette seconde suite, c'est-à-dire la limite vers laquelle tend la somme s, lorsque n augmente indéfiniment; S s'appelle la somme de la série précédente et l’on indique cette dépendance par l'égalité

S = UE dit... Flünt = ù Us).

Une série qui n’est pas convergente est appelée divergente.

ND

Reconnaître si une série est convergente ou divergente revient donc à reconnaître si la suite formée par les sommes succes- SIVES MS 5, S15t Sas ... ‘est élle-meme convergente ou divergente. Inversement, pour savoir si une suite infinie quelconque

So S1, S2; est convergente, 1l suffit d'examiner la série S0+ ($1— 50) + (52 — 51) 2 PSS, AN EE

car la somme des (n +1) premiers termes de cette série est évidemment égale au terme général s, de la suite considérée. Cette remarque est d’une application fréquente.

Le criterium de convergence d’une suite infinie quelconque, appliqué aux séries, donne la règle générale de convergence de Cauchy. Pour qu'une série soit convergente, ül Jaut et il suffit qu'à tout nombre positif & on puisse faire correspondre un nombre entier n, tel que la somme d’un nombre quelconque de termes à partir de Unss Soit moindre en valeur absolue que 2.

La différence Sn+p— Sn est, en effet, égale à la somme de p termes consécutifs de la série (2), à partir de u,,,. Le théorème Sur les suites croissantes appliqué aux séries donne de même la proposition suivante, si utile dans l'étude des séries :

Pour qu'une série à termes positifs soit con vergente, ilfaut et il suffit que les sommes Sx sotent toutes inférieures à un nombre fire.