I. — LIMITES. — ,ENSEMBLES

classe À’ est plus petit qu’un nombre quelconque de la classe B/. Soit À le nombre séparatif entre les deux classes A et B'; c’est ce nombre À qu'on appelle la plus grande des limites des nombres de l’ensemble (E), d’après Cauchy. Soit e un nombre positif quelconque ; d’après la définition même de A, le nombre À + e est de la classe B' et le nombre À — & est de la classe A’. Il existe donc toujours une infinité de nombres de l’ensemble (E) compris entre A—e et À +e, tandis qu'il n’en existe qu'un nombre fini (ou zéro) qui soient plus grands que À + <.

1 / Ù à une question importante.

Ce nombre À se rattache jé stion important ilité snoncés, faisons correspondre à tout nombre a

Pour la facilité des énoncés, f espond tout nombre @« le point d’abscisse a sur une droite +'#, et désignons par la même lettre un point de l’axe et son abscisse. A tout ensemble (E) de nombres correspond ainsi un ensemble de points sur une droite, ou ensemble linéaire. Les points d’un ensemble borné sont tous sur un segment de l’axe de longueur inie. onné un et inéair :), un poin it un pointfinie. Etant donné un ensemble lin 6 (0, oint l'est dit un point imite, Où u 4, accumulation, s’il existe une infinité Join e limite, où un point d° lation, s’il te un finité de points d l’ensemble dans le voisinage de / ou, en termes plus précis, si, e étant un nombre positif arbitraire, il existe toujours une infinité de points de l’ensemble entre / —e et | +e.

Tout ensemble linéaire borné, comprenant une infinité de points, admet au moins un point-limite.

En effet, le point d’abscisse À est évidemment un point-limite, d’après la propriété caractéristique de ce nombre. 11 peut du reste en exister d’autres; ces points-limites forment un nouvel ensemble (E) qui est dit l’ensemble dérivé de (E). La borne supérieure M' de l’ensemble (E) est précisément le nombre À. En effet, s étant un nombre positif quelconque, il ne peut y avoir qu’un nombre fini de points de (E) supérieurs à M'+e, sans quoi ces points formeraient un nouvel ensemble dont la plus grande des limites serait supérieure à M”. D'autre part, puisqu'il y a au moins un pointlimite supérieur à M'— &, il y a forcément une infinité de points de (E) supérieurs à M'—:. La borne inférieure #7’ de l’ensemble dérivé s'appelle aussi la plus petite des limites de l’ensemble (KE).

L'existence des points-limites d’un ensemble borné comprenant une infinité de points peut être établié directement, par un raisonnement qui sera souvent employé (n% 8 et 12). Un ensemble non borné, comprenant une infinité de points, n’admet pas forcément de point-limite ; tel est l’ensemble des nombres entiers. Mais il y a certainement un point-limite si, sur un segment de longueur finie, il y a une infinité de points de l’ensemble.