CHAPITRE VI. — FONCTIONS D*UNE VARIABLE IMAGINAIRE. l

choisit pour log(i + z) la valeur qui s^annule pour ^ = o, la constante est nulle, puisque la série (lo) s'annule aussi à Toriginc; on a donc

lo'^i I-T-C)=5— — -+-^ ^ -r-.,.,

<iéveloppcment valable à Tintérieur du cercle de rayon i décrit de

l'origine comme centre.

2" Pour (i-f-^)'", démontrons que le développement classique du binôme est encore valable quels que soient z et m, pourvu que niodw soit inférieur à Tuiiité. Posons à cet effet

-, m m i NI — \) . /// ( /// — I ) ( /// — •>. ) ,

Dans celte série, le rapport d'un terme au précédent est

Il -t- I

quantité dont le module finit par rester inférieur à i, à partir d'une valeur assez grande de n, si mod>3<;i; la série des modules converge donc (n° 130), c'esL-à-dire que la série elle-même fsl absolument convergente, pour mod5<;i; on voit de mémo que la série des modules diverge si mod-s^i : le rayon de convergence de la série de puissances proposée est donc égal à i . On en déduit, en appliquant la régie de dérivation,

d'oii, en multipliant les deux membres par i -|- r,

\ -- z .. m — I i in — \){ ni — i ) ^

Le second membre est la somme de deux séries convergentes qu'on a le droit de réunir terme à terme (n° 129, 6®); donc

et l'on retrouve évidemment au second membre la série f{z).

l6o PREMIÈRK PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Donc

c'est-à-dire

f'iz) m

Le premier membre est la dérivée de log/(w), le second est celle de m \og{i -\- z) '^ on a donc (n** loo, Remarque)

log/(-5)= m log(i -h -s)-+- const.

Pour ;; = o, /{z) et Iog(i 4- z) se réduisent à l'unité, et dès lors la constante est nulle; on en conclut

la valeur à prendre pour log(i -^ z) étant celle qui s'annule avec^; et par suite

la détermination à choisir pour [\-\- z)^ élant celle qui est égale à I lorsque z est nul. On a donc, sous le bénéfice de cette observation,

I l .JL

développement valable quel que soit m, et pour toutes les valeurs de :; dont le module est inférieur à l'unité.