CHAPITRE VI. — FONCTIONS D*l'NE VARIABLE IMAGINAIRE

de valeurs. Par exemple, z', ou y/>3, a deux valeurs, égales et de signes contraires.

On a, en verlu de la formule (6) de définition, quels que soient n et n'y

^n ^n' —~ g/» loR 5-4-nloi?3

et, en supposant qu'on prenne la même valeur pour les deu« fonctions log^ du second membre,

c'est-à-dire que le produit d'une des valeurs de w" par une valeur convenable de s"' est une des valeurs de ^'*+'''.

Nous pouvons maintenant définir une puissance quelconque de l'exponentielle; on a en efi'et, par (6),

Or une des valeurs de loge" étant évidemment w, ce logarithme a pour valeur générale u -t- s/tt:/, de sorte que

Si n est entier, le second membre est e"", comme cela devait «Ire (n° 149, corollaire 3"); si n n'est pas entier, le second membre a des valeurs en nombre limité ou illimité selon que n est fractionnaire ou incommensurable, et la formule

sans être fausse, puisqu'elle correspond au choix de A* = o, ne donne qu'une des valeurs du premier membre. Sous cette réserve, on conclut de là les formules

c'est-à-dire (\\xune des valeurs de {z'^Y' est z""' . De même

c'est-à-dire quune des valeurs de {z «)" est le produit d'une valeur de s'* par une valeur de w".

Enfin la dérivée de 5" est nz'^' * : on le voit en dérivant par rapport à z les deux membres de la relation de définition (G), ce

l58 PREMIÈRE PAHTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(|ui donne

:;" avant, dans les deux membres, la môme délcrmlnalion.

161. Développements de log(i-4--s) et de (1-4-z)'". — Il est aisé d'obtenir les développements de ces deux fonctions en séries de juiissunces.

1° On a identiquement

D^ailleurs la série de puissances i — z -\- z^ — 2' + . . . a évidemment pourrajon de convergence l'unité, et, si mod^ est inférieur

à i , le terme résiduel tend vers zéro pour n infini. Par suite,

la série indéfinie

MJ) \ — Z-\-Z' Z

représente -1 pour toutes les valeurs de z dont Taffixe est à

rinlérieiir du cercle de rayon i , décrit de l'origine comme centre. Cela posé, log(i + 2) est une fonction analytique de 5, dont la

dérivée est ;* d'après le n° 159; si donc log(i 4- 5) est déve-

loppable en série de puissances, les termes de son développement auront respectivement pour dérivées les termes de (9), en vertu (lu n*" 1 13, et ce développement sera dès lors, à une constante près,

no; .---- . ^

D'ailleurs la série (10) admet le cercle de rayon un pour cercle de convergence (n"* 111); c'est donc une fonction déterminée et continue de :; à l'intérieur de ce cercle, et sa dérivée est la série (9), c'esl-à-dirc

Dès lors la série (10) et la fonction log(i-h>3), ayant même dérivée pour toutes les valeurs de :; dont le module est inférieur à I, ne diffèrent que d'une constante (n° 155, Remarque). Si l'on