X -^- ht — %, y -t- kl — ^, 011 a

d'où

f^'>- dix dt "■' 0^ dt ~ d% dfJ '

,.•,/> - hi^^fh + ^"f k\ ki '''•^ h ^'f k\

et ainsi de suite jusqu'à 'f"(^) inclus, où Ton remplacera t par 0^. Mais, d'ailleurs, à cause des relations a = x + /tt^ p ^rzy - - A7, les dérivées partielles de /(a, P), par rapport à a et p, sont les mêmes que les dérivées partielles de même ordre par rapporta j: et^; de sorte que

On f 0" f , d'* f

les coefficients étant ceux du binôme (n° 44), et -r^ • • désignant -^ fi^x -h ht, y -\- kt). . ., Faisons maintenant /=ro dans ces dérivées, pour avoir <f'{o), 'f"(o), ...; les expressions -r-> ••• désigneront alors j- /{^t y)^ ' ' ') et il viendra

Faisons enfin / = i ; nous obtenons la formule cherchée : f{x-h,y-^k)

(/i— i;!L (>a^"-* I dx'^-^dy J "'

ce qu'on écrit symboliquement :

\ .'X. . An ~\)\ 0.r <iy ] '

en convenant, dans le développement des binômes, de remplacer

/à/\f' /df\7 d/'^f f la puissance -r- f -r- pa»' r^ •

Quant au reste R,|, il a la même forme que le terme qui le précède; on remplacera sinïplement dans ce terme /i — i par /?, et/(^,r) par/(x-^9A,,x-4-0A).

On montre aisément que la formule s'applique sî/(x^y) et ses dérivées partielles jusqu'à Tordre n inclusivement sont continues et déterminées, lorsque :c et j^ varient de x à x -f- A et de y k y -hk.

L'extension de cette formule à un nombre quelconque de variables est immédiate.

169. Remarque. — Si l'on pose J\x^y)^= z; h ^^ dx, k =z ciy^ on voit que, dans la formule précédente, les termes successifs

sont égaux à dz^ d'-z, ... (n" 44). Donc on peut écrire, en re-