II. - PROCÉDÉS POUR EFFECTUER LES DÉVELOPPEMENTS

EN 3ÉRIE.

170. Dans le calcul différentiel, on a souvent besoin de développer une quantité en série suivant les puissances d'un ou de plusieurs infiniment petits, ou du moins de trouver un certain nombre de termes de ce développement. Soit, par exemple, y une fonction, j^ =y(^), d'un seul infiniment petit x\ la formule de Maclaurin, si elle est applicable, résout la question :

r-/(o}-^/'(o)-H...-f--î/'>(o,,+ --— -i/"-^'(Oa-),

et, en négligeant le dernier ternie (reste), on a la valeur de >' aux infiniment petits près d'ordre supérieur à n.

Souvent, la formule de Maclaurin, appliquée directement, conduirait à des calculs très longs, à cause de la nécessité d'obtenir les dérivées successives de j'; parfois aussi elle est inapplicable. Voici quelques procédés qui permettent de simplifier les opérations.

171. Produit. — Supposons qu'il s'agisse d'oblenir le développement d'un produit, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à /i, par rapport à x,

Sx y = uv^ et si

on fera le produit uv et Ton ne gardera que les termes d'ordre égal ou inférieur à n; pour cela, il est clair qu'il suffira de s'arrêter, dans w, aux termes en j;""?, et, dans r, aux termes en x""*. On aura alors

et, dans le produit de deux polynômes qui figure au .second membre, on négligera les termes en j?""^*, j;""*"', ...; ce qui donnera y avec l'approximation demandée.

172. Quotient. --- Soit y --= ^n n et v ayant les mêmes expressions que plus haut; cherchons de même à quels termes on doit s'arrêter dans // et i^, pour que le quolient, ordonné suivant les puissances croissantes de x, donne ^ aux lermes près d'ordre supérieur à n. Ecrivons pour cela

V = f, -f- S, u — iii -h R,

R et S élant les parties négligées dans w et i^; il faut que l'expression

V ("i Uiv — u v\ uS — cR

u Ui mil uu\

soil, eu Xj d'ordre supérieur à n.

On sera sûr qu'il en est ainsi si — et sont séparément

' uux UUi ^

«l'ordre supérieur à n; comme ww, est d'ordre 2a et // d'ordre a, il faut que S soit d'ordre // -f- a -f- i ; de même R devra' être d'ordre // -f- ?.a — ^ -I- i . On aura alors, aux termes près d'ordre supérieur à /?,

i> Mj??-- NrP^i — ...-4- Pa:«-»-a

^ \x^ -+-... — Lx»-^^^-^

et il suffira d'eficctuer la division des deux polynômes ci-dessus, ordonnée suivant les puissances croissantes de x, en s'arrêtant au ferme en .r", pour avoir la valeur cherchée de^*.

En particulier j si a^-o, P -= o, on prendra dans u et t^jus- (ju'aux termes en x" inclus, et l'on fera le quotient en s'arrêtant au même ternie.