Exemple. — Un exemple important est le suivant : Soîl

a désignant un nombre entier et positif, et /(x) et 'f(x) des (onctions finies et non nulles pour x = a. On pose

et Ton demande le développement de y suivant les puissances croissantes de h.

/{a -^ h) I f[a)-^hf'(a)-...

h'^ff{a-i- h) h^ o(<7 ) — /j (p'(a ) f-. . .

en supposant la formule de Taylor applicable à /(a -h h) et o(a"+ h).

Si l'on veut avoir y jusqu'aux termes en h" (inclus), ou développera le quotient

fia) -'- hf'{a) -t- . . .

jusqu'aux termes en A*"*"", et pour cela, d'après la règle du numéro précédent, on fera le quotient, suivant les puissances croissantes de A, des deux polynômes

en s'arrétaiit au terme eu A*"*"". On aura alors, pour^,

Les premiers termes Ta " • * ^ T ^^ nomment la partit^ injinie

du développement de y au voisinage de x —- a, parce que, pour j: = a (c'est-à-dire /i = o), ils deviennent infinis. Si l'on désire obtenir seulement la partie infinie c'est-à-dire si /i— : — i,

les deux termes du quotient ^^7 , devront être calculés iusqu^aux

termes en A*""* (inclus), et dans le quotient on s'arrêtera également aux termes en A<*~', c'est-à-dire qu'on prendra au numérateur et au dénominateur autant de termes qu'on désire en obtenir au quotient.

174. H est parfois impossible de développer une fonction sui- \*nl les puissances croissantes de jr: la fonction loga: en est un

oxomple.

Vax olfol, si l'on avait

— oo:

\\ frtudrail que a fût négatif, puisque, pour x -^^ o, logx = M>il a '^'i o" aurait alors

x"^ \oQx — A — Bj: -^ Cj7--t-. . .,

00 qui est impossible, car, pour x -^ o, le premier membre tend xors /.éro, quelque petit que soit m, et le second tend vers A, qui n\>st pas nul, puisque Ax^ a été supposé le premier terme du dé- \i»loppemenl.

Si l'on a une expression telle que

logM — log( \a?«-h- Bar3i-^i-f-. . . )•

on peut obtenir un développement comprenant un terme en logo;. suivi de termes en x. On écrira

loga -- logAj-»! I -,- — X -- . . . ) -- logA -r- a iogar -^- log( i -h — j? -h. . . ].

Si Ton |)ose

l\ =z — JT —

log(i -t- K) sera dcveloppable, au voisinage de j? = o, par la série connue {n'' 161)

logd R)-- R

cl en développant 11, R^, R^, ... jusqu'à Tordre /î,on aura logM — 2 \o^T -h logA 1- a X -\- b x^ -■- . . . ~h l jc" ,

aux termes près d'ordre supérieur à n.