I. - DÉnNITION ET PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE DÉFINIE

257. Nous avons annoncé, au n° 193, que, si f{x) est une fonction continue entre j: = a et x = b, il existe une fonction F(x) ayant pour dérivée f{x) pour les valeurs de x comprises dans cet intervalle : c^est le théorème que nous allons maintenant établir en introduisant la notion nouvelle d'intégrale définie.

Pour les anciens analystes, la proposition était évidente.

Qu'on construise, en effet, la courbe y=^f[x)j et qu'on désigne par F (j?) Taire comprise entre la courbe. Taxe des x^ Tordonnée fixe d'abscisse a est l'ordonnée mobile d'abscisse x\ je dis que F {x) aura pour dérivée /(a:). En effet, si l'on donne à x l'accroissement A^, l'accroissement AF, de l'aire, sera le trapèze

Fijj[. 6i.

curviligne PMM'P' (.Ao- ^0' ^^"^ Taire, comprise entre Taire y ^x du rectangle PiM/;j'P' et Taire {y -\- \y) \x du rectangle PmM'P', a pour expression {y-^^\y)!Lxj 6 étant compris entre o et I. On a donc

AF =:(^-r-0 AV) A^,

et cette relation montre que la limite du rapport-—» c'est-à-dire

êaJC

la dérivée de F(j:), est égale à y^ ou f{x).

Mais cette démonstration, dont l'importance historique a été très grande, est loin d'être satisfaisante : i" parce qu'on y regarde