Rappelons d'abord une propriété établie au n° H

Une fonction f{x) continue dans un intervalle fini ab^ extrémités comprises, est uniformément continue entre a et 6, c'est-à-dire qu'étant donné e aussi petit qu'on veut, on peut assigner un nombre r^ (module de continuité uniforme), fonction de e seul, tel que l'on ait

mod[/(ar,) — /(J7)]<Ê,

pour toutes les valeurs de x et Xs comprises entre a et 6, et dont la différence est, en valeur absolue, inférieure à t^.

259. Notion de l'intégrale définie. — Soit une fonction f{x)^ continue dans l'intervalle ab et aux extrémités de cet intervalle; a et b désignent des nombres finis, et a est supposé inférieur à b.

Sur l'axe des x marquons, à partir de l'origine O, les points

Fig. 62.

d'abscisses entières, x = .., — 3, — 2, — i? o, i, 2, 3, ...; subdivisons ensuite chacun des intervalles en deux autres égaux, et ainsi de suite.

A un instant quelconque de cette opération, désignons par vFi, X2'i ..., Xnt Xn^iy . . . , x^ Ics points de division compris entre a et 6, en allant de a vers b; soient nio le minimum de f{x) entre a et ^,, c'est-à-dire, plus exactement, la plus petite valeur de f{x) entre x = a et x = Xi; ...; m^ son minimum entre Xn et Xfi^x ; ... ; m^, entre Xp et b.

Considérons la somme

S = mo(xi — a)-h/ni(ar, — ^1) 4-. ..-h mn(xn+i — Xn)-^---^ nip(b — Xp),

a64 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Je dis qu'elle tend vers une limite finie et déterminée quand le nombre des points de division augmente indéfiniment suivant la loi indiquée ci-dessus.

En effet, puisque a <C b^ toutes les différences Xn^i — Xn sont positives; si donc M désigne le maximum de /{x) entre a et fr, il est clair que j'augmente S en remplaçant tous les m par M, de sorte que

S <M(:ri — a-h Xt— Xi-^.. .-\-Xn+i — Xn-h. ..+ à — Xp),

c'est-à-dire

Les sommes S restent donc inférieures à un nombre fini, M(6 — a); pour prouver qu'elles ont une limite il suffira d'établir qu'elles vont sans cesse en croissant, ou du moins ne décroissent jamais.

Passons, en effet, d'une division à la suivante : l'intervalle ^n^n+i se trouve subdivisé en deux autres; et si ^n est son point milieu, à l'intervalle j:,|X„^i correspondent, dans la nouvelle somme S', les deux termes

u et |ji' désignant respectivement les minima de /(x) entre x„ et Ç„ ; Çrt elXn+i' Comme rrin est le minimum entre Xn et Xn^i^ un des nombres [jl, \i.' est égal à rrin, l'autre lui est supérieur ou au moins égal; les deux termes [jl(Ç„ — Xn)-^ ^'{^n+i — in) oui donc une somme supérieure ou au moins égale à /^«(X;,^! — x^), c'està-dire au terme correspondant de S. Le même raisonnement s'appliquant à tous les termes de S, y compris les deux extrêmes, on voit que la nouvelle somme S' est supérieure ou au moins égale à S, ce qui démontre la proposition.

La limite des sommes S, limite dont l'existence est ainsi établie, se nomme l'intégrale définie de f{x) entre a et 6, et se représente par le symbole sommatoire

r f{x)dx,

qui rappelle son origine.

On suppose essentiellement, jusqu'à nouvel ordre, a <ib.