CHAPITRE III. — INTEGRALES DÉFINIES

260. Corollaires. — i° Soit c une quantité comprise entre a et 6; je dis que

(I) r f{x)dx= c f{x)dx^ f /(x)dx.

Ja *^a *Jc

En eflTet, à un instant quelconque de la division de l^axe des x^ désignons par x^^ x^^ ..., Xq les points de division compris entre a et c; par Xqj^.^^ . . ., Xp ceux compris entre c et b. Les sommes dont les limites définissent respectivement les trois intégrales de la formule (i) sont, à l'instant considéré,

S =mo(a?i — <t)-+-...-h mq{xg^x — Xg)-\-. . .-h mp{b — x,,)^

Si = /no(a7| — a) -f-, . .4- m',(c — a:^),

S, = m'Jfixq^i — c) -r-.,.-^ mp(b^Xp);

niq^ m', m" étant respectivement les minima de f{x) entre Xq et Xq^^^ Xq et c, c et Xqj^\. On en tire

S — Si— Sj= mqÇXq^i— Xq)— mq(c — Xq)— /nj( J7^4 i — c) I

d'où, si Mo est le maximum du module de /(x) entre a et b,

mod[S — (Si-h Sj)] < Mo(Xq-t.i — .Vq-h c — Xq-\- Xq^i— C),

c'est-à-dire

< •lMo(Xq^i — Xq);

et, comme Xq^i — Xq a pour limite zéro, il en est de même de S — (S| H- S2), ce qui établit la formule (i). De même, en supposant

a<c<rf<e <...</< 6, on a

2** Si M est le maximum et m le minimum de /{x) entre a et 6, on augmente la somme S en remplaçant les m„ par M, et on la diminue en les remplaçant par m; donc, en passant à la limite,

m{b — a)^ f /ix)dxiyi{b — a) (a < b).

266 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGMiL.

ce qu'on écrit

/(x)dx = fx(6 — a),

IX étant intermédiaire entre m et M.

Comme d'ailleurs /(x) est continue, elle prend, entre x ^= a et x = b, la valeur a, qui est comprise entre son maximum et son minimum (n° 8), de sorte que

fix)dxr={b -a)f{X,),

Ç étant une valeur comprise entre a et b.

261. Déflnition plus générale de l'intégrale définie. — Supposons toujours a <i b; sur Taxe des x marquons arbitrairement, entre a et b, et en allant de a vers 6, des points Xt, x^^ . . ., Xp\ et, dans chaque intervalleX/,a:,i^i, prenons un ^ovaX. arbitraire Ç„.

Considérons la somme

(j = (ar, — a)/($o) -^ (a-, — Xt )/(ît ) " • • •

-4- ( J7„Hl — J-;, j/( $„) -h . . . -h ( ^ — X,,)/(Ç;,).

Si l'on multiplie le nombre des points de division suivant une loi quelconque, de manière que tous les intervalles XnXn^\

tendent vers zéro, je dis que 0" a pour limite l'intégrale / /(x)dx^

définie tout à l'heure.

Comparons en effet o* à l'intégrale : celle-ci peut s'écrire (n«260, i«)

' fi^x]dx= I -r- / -^...-+- / -^...-+- / ,

de sorte que