CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES Al'X INTÉGRALES DÉFINIES

que, dans Tintervalle de 6 à a + 2îw, inférieur à 27r, on pourra représenter une fonction donnée, ç(^), par une infinité de séries de Fourier; car il suffira de se donner arbitrairement une fonction çpi ( j:) entre a et 6, et de former la série qui représente ^i (x) entre a et 6, et f (^) entre 6 et a -f- ait.

Application, Développement en série de cosinus. — Soit a = — 11, 6 = o, a-f- 211= 7r; désignons par <p( a:) une fonction donnée et prenons pour «pi (:r), entre — ii et o, la fonction

Développons en série de Fourier, de — 7t à -h ir, la fonction/(j:), qui est égale à '^i (a;), c'est-à-dire à ©( — x)^ entre — tt et o, et à ^{x) entre o et it : cette fonction est paire ; f{x) sin/i x est donc une fonction impaire, et l'on a, par suite (n® 263, 4°)?

f{x)ûïinx cte = o.

De même y(j;) cos/ij? est une fonction paire, et, par suite (n°263, 4'),

icAn= / /{x)cosnx dx = 1 1 <f(x)cosnxdx,

tcAo= / ^{x)dx.

Il vient ainsi, pour x compris entre — tt et -f- tt,

f{x) = Ao-H AiC0SJ7H- AjCOS'ia^ -+-...,

les A ayant les valeurs (9); c'est-à-dire, puisque /{x) est égal à 'f(x) entre o et tt,

développement de «j>(^) en série de cosinus, valable entre x = o et X = Tz,

Développement en série de sinus. — Si l'on avait choisi <f 1 (^), entre — ir et o, par la condition

(p,(ar) = — ç(— a:), H. 22

la fonction y*(^) définie plus haut eût été une fonction impaire : alors les An sont nuls, les B/, ont des expressions analogues a (9). et l'on obtient ainsi un développement de ç(^), valable encore entre o et t:, ne contenant que des sinus.