CHAPITRE V. — PROPRIÉTÉS RELATIVES AUX INTÉGRALES DEFIMES

que cette série est non seulement convergente, mais uniformément convergente entre a et a -+■ 271.

Dans quel cas sera-t-on sûr qu'il en est ainsi, c'est-à-dire dans quel cas la série

( An-h Atcosx -h. . .-^ XftCosnx -h. . . (8)

( -h Bi sin a: -h. . .-T- B« sin /la: -H. . .,

où les A et B sont remplacés par leurs valeurs (7), sera-t-elle uniformément convergente et aura-t-elle pour sommey(ar)?

Nous ne traiterons pas cette importante question, dont la solution demande d'assez longs développements; bornons-nous à indiquer le résultat.

Si f(x) est une fonction finie et continue entre a et a -h air, pouvant toute/ois posséder un nombre fini de discontinuités sans passage par r infini, et si elle n*a, dans IHntervalle considéré, quun nombre fini de maxima et de minima^ la série (8), dite de Fourier, représente la fonction entre a et a -\- 'j.t.,

II faut observer que, si y*(^) présente des discontinuités, sans passage parrinfini, entre a et a-f- a?:, les intégrales qui définissent ies coefficients A„ et B,^ sont néanmoins bien déterminées et finies, et qu'il n'y a d(>s lors aucune indétermination dans les valeurs de ces coefficients (n° 303) (•).

Dans le Cours de seconde année, nous donnerons la démonstration d'un théorème analogue à celui de Dirichlet pour une fonction d'une variable imaginaire, mais avec des restrictions relatives à la continuité de la fonction.

333. Remarque I. — Le théorème précédent ofi're un grand intérêt analytique. 11 permet d'exprimer, à l'aide d'une série dont les termes sont continus, des fonctions discontinues, et aussi de représenter par une même série deux ou plusieurs fonctions différentes : voici comment ce dernier point doit s'entendre.

Soient cpi(.r) er '^'>(x^ deux fonctions de x^ continues par

(') La série de Fourier donne la valeur exacte de /(a;) en tous les points (de Taxe des x) où la fonction est continue; en un point de discontinuité, elle donne la demi-somme des deux valeurs de/(j:) en ce point.

JiC) DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCtL INTÉGRAL.

exemple entre a et a -\- 271; soit b une valeur de x comprise dans cet intervalle. Désignons par y*(x) une fonction égale à Oi(x) entre a et /;, et à '-f^i^) entre b ei a -\- "^tz : f{x) est une fonction continue de « à 6 sauf une discontinuité possible en 6; on peut donc la développer en série de Fourier :

f{x ) — Ao-^ Aicosj" H-. . .

-r- H| sin j- -h. . .,

et Ton a ainsi ufie série qui, entre a et 6, représente S| (.r) cl, entre 6 et a -h 9.7:, représente cpo(.i'). On pourrait de même supposer qu'il y a trois, quatre, . .• fonctions '^ différentes.

Exemple. — Cherchons la série de Fourier qui représente '^, (^x) = I entre o et ?:, et 'f j(.^) = — 1 entre t: et 211.

On a A,,— - / f{jr)QO?>nxd,r=- j i.cos/i.r^/.rH — / ( — i)co<njrdx.

ciir/'(\r) 1^ I entre o et ?:, et = — i entre :: et mz. On en conclut

De même

IVv = - / ^InriTcfor — ■ j s'in rijrdT

/ O, SI n est pair,

— ( cos/i5^)^ -}- - - f cos /i .rC^ = • \

n- '« //- '^ / -^, si 71 impair.

Donc, en observant que A^ est nul aussi, on a

f(j' ) — 1 I sin J- 4- - sin ^or 4- - sin ')jr -^. . . \:

sous une autre forme, la série

sinj^H- -sin3ir-i- Tsin>a7-h...

e?>t éfçale à y> (luandxest compris entre o et?:, et à — ^j quoiid x csl compris entre t: et 2-.

33 i. Remarque II. — Il résulte de la llcmarquc qui précode