CHAPITRE IV. — LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES

métriquement rhélicoïde par les mêmes équations que la surface de révolution, en ajoutant seulement à z un terme aco, proportionnel à Fangle de rotation. Donc, pour ThSlicoïde,

a? = rcos(i), ^=rsina>, .3 =/(r)-+- ao).

On en conclut

ds^ = t/r* H- r« dtû* -h[/' (r) dr -h a di^y

= dr^[i -f-/'t(r)]-f- 2 dr duia/\r)-\- dtù*{a^-h r«),

et, par suite,

La sur/ace de vis à filet carré s'obtient en prenant pour courbe génératrice, dans le plan zOxy une droite normale à Oz, z=i h. On a donc

x = rcosa>, ^ = /*sinti), .s = /»-+-«o),

ou, en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au point j:= o, ^= o, z=^ h,

X = rcos(i), Y = rsina>, Z = aw,

d'où

ds*= d\^-{- dY*-{- dZ^ = dr^-h(r^-\- a^)dw^.

Le terme drdtù manque; donc les courbes o) = const., qui sont les génératrices rectilignes, et les courbes r = const., qui sont des hélices circulaires, sont orthogonales.

417. Exemple d'arc. — Considérons sur la sphère la courbe, dite loxodromie, définie par la relation

tang- = Xc»?,

où X et a sont des constantes, et cherchons la longueur d'un arc quelconque AB de cette courbe {fig* loo) : soient 8© ct^j^o? ^i ^^^i les coordonnées de A et B sur la sphère. On a (n« 416, 2«)

rf5«= R«(c?Ôî-hsin»Oc?iJ;î).

Or, sur la courbe proposée, en différenliant (7), on obtient

. I rfO ^ , -, 0 ,, jr = A ac^Y M =z a tang - au/,

d'où

cos' -