CHAPITRE IV. — LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES
On a, d'après (5),
Valeur principale de MN = E(u,v) clu'^^
puisque dv est nul le long de la ligne MN. De même
Valeur principale de QP = E(m, v->t-dv)du'^ = [E{u^ v)-\'E'^dv -\-,,J]du'^,
d'où
Valeur principale de QP =/E(w, v)dul\-\- -— dv -^ , . ,\
= ^E[^u,v)dul\-\' ;!■ ~dv-{-.,\ ce qui montre que Ton a
Valeur principale de QP = valeur principale de MxN =i^Édu,
De même, la valeur principale de MQ est celle de NP, c'està-dire que la figure MJNPQ peut être considérée comme un parallélogramme en négligeant les infiniment petits du second ordre en du^ dç.
L'angle NMQ des deux courbes u et v^ au point M, s'évalue aisément; les paramètres directeurs de la tangente en M à la courbe u sont, d'après (/{), proportionnels a
-r- t/f, -j- dvj -r- ar, ov dv uv
c'est-à-dire à -pi -y- y j-» puisque du = o sur la courbe u; pour la
ôv àv dv
du
courbe ^, ce sont de même j-> • • •> de sorte que l'on a
dx dx ày Oy âz as
^ , ^ du dv du dv du dv F
(G) cos(a. v) =
^ûhm-mwm'— '""
en désignant par (w, ^) Tangle des deux courbes u et r.
Telle est la relation qui donne l'angle des deux courbes coordonnées qui se croisent en un point quelconque u^ (^, de la surface : on voit que si toutes les courbes u croisent toutes les courbes s^ à angle droit, on aura identiquement F = o; récipro-
quement, si F = o, les deux systèmes de lignes coordonnées sont orthogonaux.
416. Exemples. — i** .Surfaces de révolution. — Une surface de révolution autour de O^ a pour équation
z=/(v/ÏM^);
on peut donc la représenter paramétriquement par
• a? = rcoso), ^ = rsinto, z=/(r);
r et (i> sont les coordonnées polaires de la projection du point Xfjr^ z sur le plan des xy; la méridienne, dans le plan zOx^ est z=/{x).
On a
OU
ds^= dr^[i-{-/'*{r)]-^ r^ dtû^,
c'est-à-dire
Le terme en dr dtù manque : les courbes r = const. (parallèles) et les courbes (i>= const. (méridiens) se coupent donc à angle droit.
2** Sphère. — En coordonnées polaires de l'espace (n** SSS), une sphère de centre O est définie par p = R; c'est-à-dire qu'on a sur la surface
07 = RsinO cos^]/, ^ = R sin6 sin^}', 3 = Rcos6,
d'où
ds^ = R» rf0ï H- R» sin» 6 d^\
et, par suite,
E = R«, F = o, G = R*sin«e.
3** Hélicoïdes. — Un hélicoïde est la surface engendrée par une courbe du plan des zx^ z ^=/(x), qui tourne autour de Oz, en se déplaçant parallèlement à Oz d'une longueur proportionnelle à l'angle dont elle tourne. On peut donc représenter para-
