CHAPITRE IV. — LONGUEURS ET AIRES SUR LES SURFACES

-îa3

d'où

sin(;^, v) =

v/ËG

et, pour rélémenl d'aire sur la surface,

di = du dv^EG'—F*,

aux infiniment petits près du troisième ordre.

Cette formule peut se mettre sous une autre forme. En eflet, si A, B, Gsont les coefficients du plan tangent (n® 408),

X= ^— — ~ ^ Ou ôv du du

on a identiquement, par la formule de Lagrange,

d'où

KG — F2= A»-+-B«-f-C*;

di = rfarfp/A«-+- B«-f- C>.

Si la surface est donnée sous la forme z =/(x^y)^ on a

i'où

di = dj; dy^J \ -+-/>*-+- </',

formule qui peut s'établir directement. Soient en effet x^y^ z les

Fig. 101.

yZ

jr+djc

coordonnées d'un point M de la surface; figurons sur le plan des xy les droites X = a:, X = :r -f- rfj? ; Y =^, X =iy -^ dy \ elles comprennent le petit rectangle ombré {^fig- lot)? d'aire dxdy.

Soit dv l'aire de la portion de surface, au voisinage de M, qui

se projette à l'intérieur du rectangle : cette portion de surface

peut être assimilée à une portion du plan tangent en M, de sorte

qu*on a

dx dy = c?TCOSv,

V étant l'angle du plan tangent en M avec le plan des xy. Comme cosv = - - on a bien

di — dx dy ^ \ -\- p^ -r- 7*.