Indicatrice. — Soit la surface

prenons pour origine un de ses points, et, pour plan des j?^, le plan tangent en ce point : la cote >3, développée par la formule de Maclaurin, suivant les puissances croissantes de x et^, aura une expression de la forme

z — -(M,a:2-f- aPia^^-t- N,7*)-4-...,

les termes non écrits étant d'ordre supérieur à deux en ar, y\ les termes du premier degré manquent au second membre, puisque le plan tangent à l'origine est ;; = o.

En disposant convenablement de la direction des axes des x et des y^ supposés rectangulaires, on peut, sans introduire d^ imaginaires ^ faire disparaître le terme en xy^ et il reste

(I) ^ = -(iMx«-+-N72)-h....

Si l'on coupe la surface par un plan z = A, voisin du plan des xy^ la section, pour des valeurs très petites de x et j^, sera sensiblement représentée par l'équation

elle sera donc semblable à la conique du plan des xy^ dont les axes toujours réels sont Ox eX. Oy^

conique qu'on désigne par le nom lï indicatrice .

Si M et N sonl de même signe, rindicatrice est elliptique; alors les courbes (2) sont réelles lorsque h est du signe de M et de N, imaginaires dans le cas contraire; en d'autres termes, les plans parallèles au plan tangent coupent la surface, au voisinage du point de contact, en des points réels ou non, selon qu'ils sont situés de Tun ou de l'autre côte du plan tangent.

Si M et N sont de signes contraires, l'indicatrice est hyperholique; les courbes (2) sont toujours réelles, c'est-à-dire que les plans parallèles au plan tangent coupent toujours la surface en des points réels, au voisinage du point de contact.

En d'autres termes, quand l'indicatrice est elliptique, la surface, au voisinage du point de contact, est située d'un même côté de son plan tangent (exemple : ellipsoïde) ; quand l'indicatrice est hyperbolique, la surface traverse son plan tangent (exemple : hjperbolcfj'de à une nappe).

Enfin, si M ou N est nul, l'indicatrice est dite parabolique, et le point O est wn point parabolique.

Étudions maintenant la courbure, au point O, des diverses lignes qu'on peut tracer sur la surface à partir de ce point; nous commencerons par la courbure des sections normales*

420. Courbure d'une section normale. — Menons par la normale Oz {Jig* 102) un plan zOt faisant un angle cp avec le plan

Fig. 102.

des zx^ et proposons-nous d'évaluer la courbure en O de la section ainsi déterminée dans la surface.

Soit M un point voisin de O sur la section, de coordonnées dx^ dy, \z\ menons MP normal au plan des xy. On a, pour la