CHAPITRE II. — PREMIERS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'iNFINIMENT PETITS. y

pas d'ordre supérieur à e, on mènera par AB un plan parallèle à A'B' et l'on projettera A'B' sur ce plan en a'b' (Jig* Sa).

L'angle c est aussi l'angle de AB et de oJU \ Bb' et Aa' sont de

Fig. 33.

Tordre de e, comme on l'a vu plus haut; donc BB', qui est au moins égal à sa projection B6', ne peut être d'ordre infinitésimal supérieur à e.

82. Applications. — i° Courbes et surfaces parallèles, — Si Ton porte sur chaque normale AN à une courbe ou surface (G), à partir du pied, A, une longueur constante AB = /, le lieu du point B est dit courbe ou surface parallèle à la première.

Deux courbes ou surfaces parallèles ont les mêmes normales, c'est-à-dire que la normale en B au lieu du point B est la droite AN {fig- 33). Appliquons, en eflf'et, la formule de varia-

Fig. 33.

lion de longueur au segment AB : / étant constant, dl=o\ la

droite AB étant normale au lieu de A, cos(AA', BA) = o; il reste,

dans (3),

cos(BB', AB) = o,

c'est-à-dire que la droite AB est normale en B à la direction de tous les déplacements BB', du point B; elle est donc normale au lieu de ce point. c. q. f. d.

Réciproquement y toutes les courbes ou surfaces qui ont mêmes normales sont parallèles; car si AB est normale en A et B aux

lieux de A et de B, les deux cosinus de la formule (3) sont nuls, et il reste cli = o^ d'où / = const.

Dans le plan, les courbes parallèles ont, d'après cela, même développée et sont les développantes de leur développée commune : une courbe plane a donc une infinité simple de développantes, toutes parallèles entre elles.

?/• Théorèmes de Cliasles sur les arcs de conique, — Soient (E) et (E') {fig* 34) deux ellipses homofocales dont la

première est intérieure à la seconde. Par un point M de (E ), je mène les deux tangentes MP et MQ à (E); je dis que

MP -hMQ — arcPQ = const.,

lorsque le point M se déplace sur (E').

Considérons, en effet, un point M', infiniment voisin de M sur (E';, et les tangentes M'P', M'Q'; appliquons la formule (3) à chacun des segments MP et MQ, il vient

( rf(MP) =PP'cos(PP',]VIP) H-MM'cosCMM', PM), ^'^ ( r/(MQ) = QQ'cos(QQ', MQ)-+-MM'cos(MM',QM).

Or, c'est une propriété classique des ellipses homofocales que les tangentes MP et MQ sont également inclinées sur la tangente en M à l'ellipse (E'), c'est-à-dire que

cos(MM', PM) = — cos(MM', QM);

il vient alors, en ajoutant les relations (4) membre à membre, c/(MP -H MQ) = PP'cos(PP', MP) H- QQ'cos(QQ', MQ).