CHAPITRE II. — PREMIBRS EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES d'INFINIMENT PETITS

D'ailleurs, les droites MP et MQ étant respectivement tanf^entes aux lieux décrits par les points P et Q, le premier cosinus du second membre est égal à — i et le second à -i- i ; il reste alors

rf(MP H- MQ)= QQ'— FP'::^ c/(arcPQ), d'où

MP -{- MQ - - arcPQ = consl. c. q. f. d.

Remarque, — Si, au lieu d'une ellipse (E' ;, on considère une

Fi g. 35.

hyperbole (H) {fig- 35\ homofocale à (E), le théorème correspondant est le suivant :

MP — MQ = arcPR — arcQR -i- const.,

et s'établit de la même manière. La constante est nulle, comme on le voit, en supposant tjue M coïncide avec R; il reste

arcPR — arcQR = MP — MQ.

83. Caustiques. — On nomme caustique par réflexion d'une; courbe plane (C), par rapport à un point O de son plan, l'enveloppe des rayons lumineux issus de O, après leur réflexion sur la courbe.

Détermination du point de contact dUin rayon et de la caustique, — Soit OM {flg^ 3G) un rayon incident, MP ce rayon réfléchi; soient de même OM' et M'P un rayon infiniment voisin et son réfléchi : il s'agit de trouver la position limite du point P commun à MPelM'P; cette position sera, comme on sait, le point de contact de MP avec la caustique.

Menons les normales à (C) en M et M'; elles se coupent en N, et leur angle est l'angle de contingence e de l'arc MM'. Désignons par o et cp' les deux angles d'incidence, égaux aux angles de réflexion.

Le iriangle MM'P donne

ivrp mv

sinPMiVr - sinP' ou, en passant à la limite,

clant posé

limMP = coso — »

arc MM' = ds,

Tout revient ainsi à évaluer la valeur principale de l'angle P. On

Fig. 36.

a évidemment, par des considérations de Géométrie élémentaire,

et l'on calcule l'angle O dans le triangle OMM' :

OM