NUTATION

Celte dernière formule est toute préparée pour le calcul de i — 'o quand on a déduit Q des deux premières. Celles-ci sont de

la forme

langj'^ /itangx,

d'où l'on lire, en posant y—— -= A",

Y — :r = A-sin2JH smi^-h -r-sinoa?.

Pour la première formule la valeur de k est

— tang— tans — »

pour la deuxième elle est

col — tanff-:

nous les représenterons par e/ et p : nous aurons donc — Il 5in(^o— 11)-+- --sin-2(^o— n)-*-. . .,

^(a-ii-f-tu)-^(i;o-n)

= c' sin(£o— ll)-t- — sin'2(^o— n)-4-

Les seconds membres doivent être exprimés en secondes d'arc, et pour cela divisés par le rapport de l'arc de i" au rayon.

Par addition et soustraction on aura Q et (o.

Dans la plupart des cas les termes du second ordre sont négligeables.

70. Déânition des mouvements propres d'une étoile en ascension droite et en déclinaison à une date donnée. — Si, après avoir ramené à un même équinoxe les positions moyennes d'une étoile à diverses dates, on constate des variations, on essaye de les expliquer par un mouvement propre de cette étoile. Dans l'état actuel

8o DEUXIÈME PARTIE. — r CHAPITRE V.

de TAstronomie, on peut toujours regarder ce mouvement comme s^ effectuant sur un grand cercle de la sphère céleste, et uniformément. Soient, à une date donnée /o> M {Jig. i8) le

Fig. i8.

déplacement annuel de l'astre sur ce grand cercle, G© Tangle que fait ce déplacement EqE avec le parallèle EqFo mené par la position initiale, EqFo étant dirigé vers Test et l'angle FoEoE étant complé de o à 211, vers le nord. Si [jlo désigne la variation annuelle d'ascension droite et \k^ la variation annuelle de déclinaison, Oq cette déclinaison, on a

jjlq cosSo= ^^ cosGo, jx'o = M sinGo-

uLo et [x^ sont les mouvements annuels en ascension droite et en déclinaison à Tépoque ^o* Ces mouvements ne sont pas les mêmes à une autre époque t en raison du déplacement de l'équateurde la date ^0 à la date /.

71. Variation des coordonnées d'un astre résultant du mouvement propre. — Connaissant à une date t^ les mouvements propres [Xo et [xjj d'une étoile et les coordonnées équatoriales ao, Oo de cette étoile^ trouver les coordonnées ao-j- Aa©, 80 -h Aoq delà même étoile par rapport au même équateur et au même équinoxe à la date t.

Soient P le pôle à l'époque t^^ Eo la position de l'étoile à cette date, E la position de l'étoile à la date ^, EqFo, EF les parallèles correspondants. Le triangle PEoE a pour côtés

M(/--/o), 90°- ôo, 90°-Ôo-A8o,

MOUVEMENTS PROPRES DES ÉTOILES. 8l

et les angles opposés sont

Aaoi 90" H- G, 90*»— Go,

G étant l'angle FEE' analogue à Go, à la date t.

Les calculs effectués au §61 s'appliquent ici. Si l'on remplace tc parM(^—^o)j Pi parîo) P par 8, X, — n par —Go, — X + IlH-t^' par G et gr par r, les formules (2), (4), (5) de ce paragraphe deviennent

'=. sinM(^ — /o) tang8o-i-sinGotang

mt-t^y\

tang(G-Go)= -^'^'^'\

(8) / i-/-cosGo

^^"g-r= G-Go^^^g-'hr— '

ces -

D'autre part les relations fondamentales entre les trois côtés et deux angles du triangle donnent de suite

, . ^ . cosGosec8otanffM(f — ^o)

(9) tangAao= 7—7^ " ^ — ^— - — ^ — .

^^ ^ I — sinGotang8otangM(«— /o)

Si l'on développe Aao et ASq suivant les puissances du temps, on trouve

Aao= [Xo(< — ^0)-+- fioH^i tang 8o(^ — «o)*-H..., A$o = H^i(^ — '0)— • vfJtJ sin 28o(/ — /o)*-i-....

Les termes du second ordre sont, en fait, toujours négligeables dans l'état actuel de l'Astronomie.

Il s'ensuit que l'on passe immédiatement de [Xo et ^'^ à Aao ^t Aoo par ces formules

Si après cela on veut déduire les coordonnées moyennes de V étoile à la date t des coordonnées moyennes à la date toy on appliquera la précession aux coordonnées ao+Aao, Oo + AS© pour les ramener à Téquinoxe relatif à la date t.

72. Ayant les coordonnées moyennes d'une étoile à deux dates, trouver le mouvement propre à Tune d'elles. — Si l'on connaît les B. - II. 6

8a DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.

coordonnées moyennes ao, So, a, S, aux dales ^o et ^7 on obtiendra comme il suit le mouvement propre à la date Iq. On appliquera la précession aux coordonnées a, 8 de façon à les ramener aux plans fondamentaux de la date Iq; si a', S' sont les coordonnées ainsi obtenues, - — -^f - — p seront les mouvements propres en ascension

droite et en déclinaison à la date ^o* ^n rapportant ao, Sq aux plans fondamentaux de la date t^ on aurait de même les mouvements propres à la date t. Il ne faudrait pas croire que ces valeurs puissent être confondues avec les premières.

On peut déduire les unes des autres comme il suit : Les coordonnées a, 3 et les coordonnées ao+ Aa©, 80-t- ASq représentent un même point de la sphère par rapport aux plans fondamentaux de la date t et de la date Iq; ces quantités sont donc liées par des formules analogues aux premières du §61, savoir

cos8 cos(a-

= cos(oo-f- A8o) cos(ao

+ Aao-P),

cosS sin(a-

= sin(oo-+- Aoo)sin 71

sino

= sin ( 80 -f- Aoo ) cos n

Si Ton donne à ao et 5o des variations \l^, [xJ,, il en résulte pour a, 8 des variations [x, [x'que Ton obtient en différentiant ces équations. On trouve, après des transformations faciles

jji = [Xo[cos/i — sin tango sin(a — P — m)] , sinncos(a — P — m)

^^ COSOCOS(Oo-t- Aôo)

jx' = — (jLo sin/i cos(a — P — m)

, cosS[cos/i — tango sin n sin (a — P — m)\ "^^" cos(8o-+-Aao)

73. Application. — Les nombres suivants donneront une idée des variations de coordonnées qui peuvent être dues au mouvement propre et des variations des mouvements propres annuels en ascension droite et en déclinaison qui résultent de la précession.

Les coordonnées moyennes de la polaire au commencement