Y SID
iin^,
nous aurons
ne
= sin 3 .s.
L'angle y étant aigu, ^ est moindre que j; donc sin;? est moindre
PROBLÈMES RELA.TIFS AUX ORBITES. l63
que-; il s'ensuit que 3>s est moindre que-- Il n'y a donc qu'une
valeur admissible de 3z et, par suite, de z et de y.
Pour calculer la corde x, il faudrait de z déduire y, après quoi on aurait
x = (/''-f- r^)sinYï ou
X = (r'-f- r'')i^7. sin^/i — 2 sin*^ = (r'-f- r*)2* sinzy^^côsSl,
et comme
^ coséc 3 z ,
on conclut
as/r'-hr'
2O 3sin2
Jr'-i- r" sin3^
3 sinz
Le facteur . -y/cosaz, très voisin de un quand 6 est petit, a été réduit en Table ayant pour argument 3 • (Oppolzer,
Traité des orbites, Table VII). Si u. désigne ce facteur, on a
137. Théorème de Lambert. — Le théorème d'Euler a été étendu par Lambert à l'ellipse et à l'hyperbole. C'est, dans ces deux derniers cas, une relation entre la somme r' -\- r^' de deux rayons vecteurs, la corde x qui joint leurs extrémités, le temps que l'astre a mis à aller de l'une à l'autre et le demi-grand axe^ cette relation est indépendante de Texcenlricité. Nous nous bornerons au cas de l'ellipse. On a
x*= (/•'cosp' — r'cosp')*-h (/^sinp' — r'sin (>')', et comme
r cos V = a cos u — ae, rsin (^ = 6 sin w = a ces cp sin m, x*= a'(cosM'' — cosu!)^-\- a'cos*cp(sintt' — sin a')*
= 4«* sin^^sin^G ■+- 4«* cos*© sin*^cos* G = 4«* sin*^(i — e* cos*G).
Posons cosA = ecosG, et prenons h entre o" et 180°, nous
aurons
X = 2asin^sîn A, r'-h r" = ia{i — ecos^cosG) = ia(i — cosAcos^),
l6î DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII.
d'où
h — ff
r'-f-r* — x = 2a[i — cos(A — g)\= 4« sin* -y
h-\- g /•'-h r'-hx = aa[i — cos(A-i-^)]= 4asin» •
Enfin
ki — a^{ig — ae sin^cosG) = a*(2^ — 2sin^cosA) = a* [( A -I- ^) — (A — ^) — sin( A -+- ^) 4- sin(/i — ^)],
et finalement
ht 2a— (r'-f-r*) — X . 2ûr — (r'-h r') — x
— ;r = arc cos ^ sin arc cos
,1 ia la
— arc cos h sm arc cos ^^ •
La différence h — ^ est tout à fait déterminée, car on a
n-7 r / i.\ . h — g , h-^ g /r r cos/ = a(cos^ — cosA)= 2 asm sin ;
or A et ^ sont < i8o° ainsi que '^^; donc sin -^— ^ a le signe
décos/. Mais A 4- g' a deux valeurs. Cela tient au fond à ce que par deux points donnés on peut mener deux ellipses qui aient un foyer donné et même grand axe; car l'autre foyer est l'un des deux points communs à deux cercles ayant les deux points donnés pour centre et pour rayons respectifs les différences entre le grand axe et les distances des deux points au premier foyer.
138. Expressions approchées des rapports des aires de deux triangles compris entre trois rayons vecteurs consécutifs. — Nous supposons que ces angles ont le centre du Soleil et une position d'une planète pour sommets communs, et pour troisièmes sommets deux autres positions de cette planète.
Soient, par rapport à deux axes rectangulaires ayant pour centre le centre du Soleil et situés dans le plan de l'orbite, x, y, a;\ >*', x^^y les coordonnées de trois positions successives de la planète^ r, z-', /' leurs rayons vecteurs, /, t\ f les dates des observations exprimées en jours moyens, k la constante de Gauss.
PROBLÈMES RELATIFS AUX ORBITES. l65
Posons
ki^f— t') = 6, A( r- 0 = 0', A'( t'—t) = 0".
Les coordonnées ^, y, x\ y^ oé\ y" satisfont aux équations du mouvement elliptique (Chap. XI)
^X X rf«Y Y
Si l'on considère que x, y sont les valeurs de X, Y pour une époque précédant de 6'' celle qui correspond aux valeurs x', y y on a, par la formule de Taylor,
•^""•^ " ^6' "*■ I.-2 é^O'î 6 ^iÔ'a ■*"24 rfO'*
et de même
, , dx' 0» </»a7' e» f/3a:' e* d'*x'
"^ ""^"^"Së^"*"!:^ ^ê^"^ 6 "55^ "^lï 3e'ï^ "*"•••'
, ^rfr' e* d*-y 0' c?3/ 0^ d^y •^ "-^^ é^e' ^ 1.2 rf6'ï ^ 6 ^6'» ^ 24 rfO'* ^' ••
Or on a par les formules (34) d^x' x' d^x' __ \ dx' X dr' d^x' 6 dr' dx'
d^y __ __ y ^'y L f??i' ^ zl ^' ^-^i' - A f^ ^
d'où
, ,rfx' , ,d/
en posant
22 j 22 JL ^cl
A»- ft- ?!± ^ ?! J. f^ 6 r'3 "^ 4 /-'* ^0'
l66 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII.
Désignant par [r'r"], [rr^^], [r;*'] les doubles des aires des triangles compris entre /^ et /•", r et r", r et r', on a
[r'r"] = x'y—yx", [ rr"] = xy — yx', [rr'] = xy—yx', d'où, en tenant compte des formules (35)
La loi des aires donne, en négligeant la masse de la planète et désignant par/> le paramètre de son orbite,
,dy ,dT' ,- Donc
Ir ' M f, /- r ®* ' 0' • df' 1 r .1 «. /-r 8'' ' 8'' ' '''•' 1
I r.,^1 fi'./;;r. ^'' • . e''(Q-'>') I '/r' -1 1 t"-] = «v^''['--6-?ï+ 4 ?î5Ô-'---J'
formules dans lesquelles on n'a négligé que les termes du quatrième ordre au moins par rapport à 6, 0', 9".
On en conclut immédiatement les développements des rapports des aires de deux quelconques des trois triangles, savoir
[rr']"0'L' 6 r'» "^ 4 r'*é/0'**'J'
[rr'] OT 6'*— e'« I 0(00'- e't) î dr' "1
1 [rr"] ~ 0 L' 6 ;•'» 4 r'^ rfO'** j'
Ces expressions prennent une autre forme, non moins utile,
dr' quand on y exprime r' et ^ au moyen de r et /^'. On a, à cet effet,
d'où, aux termes près du second ordre,
, Qr + O'^r^ r-^ r^ i 6 — 0^ - dr' r' — r
En observant que r — r^' est une petite quantité du premier ordre on a, toujours aux termes près du second ordre,
et, aux termes près du premier ordre, successivement ! 16 I dr' 16 r' — r
L'introduction de ces valeurs transforme, toujours aux termes près du quatrième ordre, les formules (Sg) dans les suivantes
\ [/-'r'] " ô L "^ 3 (/'H-r')3 "*" (r-^-zOU
Les formules (89) ont l'avantage d'exprimer le rapport des aires des triangles en fonction du seul rayon vecteur /•', si l'on consent à négliger les termes du troisième ordre; les formules (4o) ont l'inconvénient de dépendre des deux rayons vecteurs r et z*", mais elles sont exactes aux termes près du quatrième ordre. Ces formules seront de la plus grande importance dans la détermination de l'orbite d'une planète.
139. Problème relatif à la détermination des distances d'une planète ou d'une comète à la Terre. — On suppose que trois observations d'une planète ou d'une comète déterminent les direc-
l68 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIII.
lions des droites qui joignent les positions de l'astre à celles de la Terre aux instants de ces observations. On suppose, en outre, connus les rapports des aires des triangles compris entre les rayons vecteurs menés du Soleil à l'astre. On demande les dislances de l'astre à la Terre aux trois instants considérés.
Prenons des axes de coordonnées rectangulaires ayant pour origine le Soleil, l'axe des x passant par le point vernal, l'axe des j par le point de l'écliptique dont la longitude est -f- 90^, l'axe des z par le pôle nord de l'écliptique.
Si X, y, z, x', y\ z\ a^\ y\ z" sont les coordonnées rectangulaires de l'astre dans ces trois positions, ces trois points étant dans un plan passant par l'origine, leurs coordonnées satisfont à
Téquation
(40 se' y' z'
que nous écrirons sous les trois formes suivantes
i xly'z"— z'y"] - x'iyz'-'zy'] -h x'iyz' — zy'] = o,
(4'i) I y[x'z'''—z'x''\ — y[xz' — zx" \ -^ y''[xz' — zx'] = 0,
( zlx'y — y'x']-' z'ixy' — yx"] -+- z''[xy' — yx'] = o.
Les neuf crochets sont les projections sur les plans de coordonnées des doubles des aires des triangles qui ont pour sommets l'origine et deux des trois positions de l'astre. Soient [/'/^], [''^J? [/-'r''] les doubles des aires de ces trois triangles : les équations (42) deviendront
I xlr'r'] — x'[rr'] -h x'irr'] = o,
(43) Ar'r"] -y'irr"] -^-flrr'] = o,
( z[r'r''] — z'[rr]-^z'lrr'] = o.
Désignons par n et n" les rapports supposés connus des aires [/•V], [/•/•'] à [/ v"]
Enfin introduisons à la place des coordonnées rectilignes les coordonnées polaires. Les observations donnent les ascensions droites et des déclinaisons. Nous supposerons qu'on en ait d'abord
déduit, au moyen de Tobliquilé de Técliptique, les longitudes et latitudes géocentriques X, )/, V; p, ,8', P". On a pour la première observation
IX — p cosX — R cosL, ^ = p sinX — R sinL.
z = ptangp,
p désignant la projection sur l'écliptique de la distance de la planète à la Terre, Rla distance du Soleil à la Terre, L sa longitude. Nous avons supposé nulle la latitude de la Terre au moment de la première observation; au reste, nous verrons au Chapitre IX qu'on peut toujours s'arranger pour que cette hypothèse n'ait pas d'inconvénients. On a aussi des formules analogues à (43) pour les deux autres observations.
Les équations (4^) deviennent
I/ipcosX — p'cosX'-h /i*p*cosX* =/iRcosL— R'cosL'-t-/i''R*cosL*, Tip sinX— p'sinX' -f- ^'p^sinX' =/iR sinL— R'sinL'-hn''R''sinL'', n p tang p— p' tang P'-4-/i'p''lang p*= o.
L'élimination de p et p'' donne, pour déterminer p', Téquation
/ p'[tangpsin(X'' — X') — tangp'sin(X'— X) -f- tangP'sin(V— X)] \ = /iR[— langpsin(X'~ L) -h tangji'sin(X — L)]
^''^^ j — R'[-tangPsin(X''-L')-f-tangp'sm(X-L')]
( -h n'K'l— tang? sin(X'— L') -t- tangp' sin(X — L")].
Ayant p', on déduit des deux premières équations (46)
npsin(X'— X)= p'sin(X'— X')-f- /iRsin(X'— L)
— K' sin(X'— L') 4- /l'R" sin(X'— L^, (48) {
n'p'sm(X'-X)= p'sin(X'— X) — nRsin(X~L)
-4- R'sin(X-L')- /i'R'sin(X-I/).
Les équations (47) et (48) fournissent une solution de notre problème.
Il y a lieu de les préparer pour le calcul numérique. Ayant a apprécier l'ordre de grandeur de certaines quantités, nous regarderons comme quantités petites du premier ordre les intervalles de temps compris entre les observations.
140. Détermination de p', d'où p et p'. — Considérons le grand
cercle qui passe par les deux positions géocentriques extrêmes de Tastre, et représentons par K la longitude de son nœud, par I son inclinaison et par ^o la latitude du point de ce cercle dont laloogitude est V. K, I sont donnés par les formules (49) tangp = sin(X — K)tangl, tangp'= sinCX"— K) tangl,
d'où Ton déduit, par addition et soustraction,
. A-*-X* ^.\ - tangS-*-tangS'
sinÇy+p)
2 COS 2 COS COS p COS p'
f ^ ' 2SIQ- 2 sm cosBcosp
formules commodes pour les calculs numériques. On a ensuite
(5i) tang|3o= sin(X'— K) tangl.
Si au second membre de la formule (47) on remplace tang^ et lang p-' par les valeurs (49)7 l'expression entre crochets dépendant de hç devient
tangI[sin(X'— K) sin(X — L^) — sin(X — K) sin(X'— L^)] ou
langl -cos(X''— X — K-t-L^)— ~ cos(X" — X -r- K — L^) 1
ou enfin
tangl sin(X* — X) sin(K — L^).
Les termes extrêmes du facteur de p' ont pour somme
— tangI[sin(X''-K)sin(X — X') — sin(X — K)sin(X'-V)] = -+- tangl sin(;X"— X) sin(X'— K) = tangposin(X'— X).
Eq ajoutant cette somme au terme du milieu, on trouve le coefficient de p' égal à
sin(X'^-X)sin(po-y) COS Po cosp'
En divisant les deux membres de l'équation (47) par
sin(X'— X) tangl, elle devient
p'smi^o-^') ^ ;iR sin(K L) - R' sin(K — L') + /l'R' sin(K — I/). tangl COS [Jo COS 3' ^ ^ ^ ^ ^
Nous poserons
° tangl cos^o cosp'' , R'sin(K— L')
Rsin(K — L)
R'sin(K — L")
n nous aurons pour p' la valeur
Les valeurs (48) de p et p*" se transforment comme il suit : Soient A et B l'ensemble des trois derniers termes du second membre de chacune d'elles.
Combinons la relation
— a'o p'= /i R sin(K — L) — R' sin(K ~ L') -f- n'K" sin(K — L'),
avec la première des identités
A=-i-/iRsin(X'-L) — R'sin(X'— L')-i-7i'R'sin(X'— L'), B = — n R sin(X — L) -i- R' sin (X — L') - /l'R' sinCX*^- L').
Nous avons par Télimination de R"
A sin(K — L") -h a'^ p' sin(X'— L")
= nR[sin(X'— L) sin(K — U) — sin(X'— L') sin(K — L)]
~ R'[sin(X'— L')sin(K — L')— sin(X*- L^ siii(K — L')]
= /iRsin(X'— K)sin(L — L") — R'sin(X^— K)sin(L'— L'),
, ,sin(X'-LO sin(X'-K) . ,. ,,T i R'sin(L'-L')] "'^ sin(K — L') sin(K — L') ^ 'L /iRsin(L — L)J
On voit de suite que l'on déduit B de A en remplaçant )/' par i8o®4-X. Les équations (48) deviennent ainsi
p; rsiD(X'-X') g; sin(X'-~L'')]
^~" n [sin(X'— X) "*" sin(X'-X) sin(L'— K)J ^ P sinÇL'^-L) sin(X'— K) f N] >-.X) sin(i/ — K) [' ny
sin(X'
sin(X' — X)
sin(X — L)
sin(X'— X) sin(X'— X) sin
sin(L'-L)sin(X-K)r NH
sinX'-X) sin(L-K)L n" \
où Ton a posé
(55) et
[ [R'R'] = R'R'sin(L''— L'), ) [RR']= RR'sin(L' — L), I [RR']= RR'sin(L''-L).
141. Signification des coefficients aj, et c'. — Le coefficieDi M de p' dans Téquation (47) était
___ sin(X''~X)siii(po— PO
cosPo cosP'
et le coefficient Cj de — R' au second membre
(58) sin(K ~ L') tangl sin(X'— X).
Soit {fig- 27), au moment de la seconde observation, p la distance B'B'^, vue de la Terre, de l'astre B' au grand cercle qui
Fig. 27.
joint les positions extrêmes B, B"; menons les cercles de latitude EBA, EB' A', EB" A" ; désignons par H le nœud de Torbite et sa longitude. Les triangles IIBA, IIB"A" donnent
tang(X — n) = tangDB cosi, tang(X'— n) = tangnB' cosI,
d'où, par soustraction,
cos(X — n) cosCX"— n) cosI sinBB' cosI sinBB'
sinO/~X) =
cosIIBcosIIB'
cos p cos p'
On a aussi, par le triangle B'B', B'^
sin(p,-p')=4iî^^ = ?i!i^£^«.
^^ ^^ sinBJ) cosi
Donc
. -^-.. cos(X — n) cos(X''— n) sinpsinBB'
M = sinp sin BB' ^ ^t T^ ttb-- = ir^ — ôt ô» •
^ cospocosp cosIIBcosIlB ces p ces p ces p'
Soit de même, au moment de la seconde observation, P' la distance, sur la sphère, du Soleil au cercle qui joint les positions extrêmes de l'astre, on a (58)
. ,„ ,,. . ,.. .. sin(K — L')sinIsinBB' c; = sm(K-LOtaDgIsin(X-X)= cospcosp'
Or
sinP'= sin(L'— K)sinl.
Donc
, __ sinP'sinBB^ * ~~ cosp cosp"
142. Théorème de Lambert sur la courbure de l'orbite apparente. — On vérifie aisément la relation identique
On en conclut, en remplaçant /i, n"j N, W en fonction de 0, 0" par des valeurs approchées,
P = [ 66- ^ ^ — 66^ — ^JV^3 - R^j-
Si l'on remarque que 6' et d' se déduisent de c' en donnant au temps des accroissements 6", 6 et que Ton néglige les ternies en
-=^,9 cette relation devient
f=--T'\Wi-7i)-
Remplaçant c' par -tf-> on obtient
p'séc^' W sinP' / j i\
R' ~ 1 sin/?' VR'3 r'^j'
D'où il suit que P' et />' sont de même signe ou de signe contraire suivant que R' est moindre ou plus grand que r', ce qui est le théorème de Lambert.
