DEBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE DE GAU8S
Or, si 5, y, sf' sont les rapports des aires des secteurs elliptiques compris entre les rayons vecteurs r, r', r" aux triangles compris entre les mêmes rayons vecteurs, on a
""^WT '" = 0"'?' 6',
ou
^"^ «• ['•>"]['-'-']['''^J D'autre part, des relations
^ = 1-HCC0S(0 — (i>), ^=H-CCOS(o' — (i>), ^ = l-HCCOS(o'— 0)),
on déduit
— 8in(o' — o') — -^310(0' — o)-4- ~ sin (o'—o) r r r
= 4siii sin sm >
, , - . o'—o' , o'—'O . o' — o 4 rr /^ sin sin sid
''^ "~ r'r" siii(o'— o')— -rr' sin (o*— o)-i- rr'sin(o'— o)
^ Jrr'][rV][r;^] .
arrV cos — ; — cos cos — ; — l'"''^]-^ V^^\ — L'"''^]}
d'où enfin
^ m' rr" o'—o o' — o' o'^o*
cos cos cos
On détermine d'ailleurs s et sf' par les formules du n^ 130. Après quoi on fait une seconde approximation au moyen des nouvelles va-
l88 DEUXIÂUB PAETIE. — GHAPITEE IX.
leurs de P et Q, puis une troisième, et ainsi jusqu'à ce qu'une dernière approximation donne les mêmes résultats que la précédente.
L'équation
m sin*y = sin(Vzp g)
peut avoir 0,2 ou 4 solutions. Si l'on en déduit une équation en sinz'y on trouve
m* sin^y— 2 m cos^ sin»s'-h sin'a' — sin«^ = o,
qui a une ou trois racines comprises entre zéro et un. Ces racines sont seules acceptables et encore les valeurs de zf doivent-elles être moindres que 180^ — ^'. Cette considération conduira souvent à rejeter une des trois solutions. Dans la pratique, il 7 a une solution voisine de 180° — ^'. On n'a, en effet, imposé aux points P, P', P' que la condition d'être sur les droites TP, T'F, TF, dans un plan passant par le centre du Soleil et tellement placé que l'ellipse passant par ces points et ajant pour foyer le Soleil ait ses arcs PF, P'P décrits dans les intervalles de temps donnés. Or les points T, T', T' satisfont sensiblement à ces conditions (•). Cette solution, voisine de 180° — ^\ doitêtre rejetée, et comme le problème proposé a sûrement une solution, puisqu'il s'agit de trouver l'orbite d'une planète qui a été observée, l'équation a au moins une autre racine acceptable. Pratiquement, l'angle 2' est petit, et, par suite, voisin de q^ ce qui permet de résoudre rapidement l'équation par approximations successives.
150. Calcul des éléments. — Après la dernière approximation, on calcule les éléments de l'ellipse au moyen des formules du n^ 133. On peut aussi procéder comme il suit. On a
On a aussi
e €08(0" — tù) = p — I,
(■) Us y satisferaient rigoureusement si ces points étaient réellement des positions du centre de la Terre aux moments mêmes où la planète est en P, P', P' et si Fellipse de Kepler représentait rigoureusement les mouvements des planètes autour du Soleil.
