Méthode d'Oppolzer. — Cette méthode a pour point de

départ la recherche des distances géocentriques extrêmes A, A',

d'après les relations

71 A = nb — c -f- /l'/f,

n L' ^nb' — c" -{- n' cT , où n et n'' ont les signiGcations antérieures

les coefficients 6, c, d diffèrent de ceux qui ont été représentés par les mêmes lettres au n° 143 par le diviseur cos p ; 6", c^, cP par le diviseur cos ^".

Ces équations résolues par rapport à A et A" donnent

[rr'] [rr ]

D'autre part, si l'on pose (12) iP=(rH-r'')-», jrz^^.-^,

on a, d'après les équations (40) du Chapitre VIII,

et ces valeurs substituées dans les équations (i i) leur donnent la forme

A = H + Kar,

(i3) où

ORBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE d'oPPOLZER. IQI

H et H^ étant immédiatement connus, K et K'^ dépendant encore de y^ et des quantités y', y", y^, y^.

Les premiers termes des fonctions W sont du deuxième ordre, les seconds du troisième; les derniers sont du quatrième. Dans une première détermination d'orbite, ces derniers termes sont d'abord entièrement inconnus, ainsi que x et y. Comme on a, d'autre part, entre r et A, r" et A" deux équations analogues à l'équation (3), on a en fait, si du moins on néglige les y, six équations (A) pour déterminer A, A*^, r, i^ ^ x^ y ; les deux équations analogues à l'équation (3) et les quatre équations (ii*) et (12). On \erra, au n^ 153, comment on résout par tâtonnements ces équations (A).

Les distances A, A" une fois obtenues, on en déduit les longitudes et latitudes héliocentriques par les formules (10), puis l'arc héliocen trique compris entre les rayons r et r" par une formule appropriée. Nous indiquerons au n° 152 la marche indiquée à cet effet par M. Oppolzer; pour le moment, il nous suffira de signaler les formules

Icos2/' = cos6cosô'cos(/'' — /)-+- sinô sinô', sin*/" = cos h cos h" sîd* h sin* j

dont la première résulte immédiatement de la considération du triangle qui a pour sommets le pôle héliocentrique de l'écliptique et les positions héliocentriques de la planète, et dont la seconde se déduit sans effort de la première.

On obtient ensuite le rayon intermédiaire r' et les arcs héliocentriques 2/ et 2/" compris entre la deuxième et la troisième position de la planète d'une part, entre la première et la deuxième d'autre part. A cet effet, on calcule n et rH au moyen des deux premières formules (i3), en y négligeant dans V et dans ^^ les quantités encore inconnues ^ et y\ Ensuite on utilise les relations évidentes

(16) r'sin2/= /irsin2/', r' sin 2/" = /i' 7^810 2/'.

Remplaçant dans la deuxième de ces équations /" par/' — /, dans la première / par /' — /'', développant les premiers membres et utilisant, pour simplifier les résultats, les équations (16) elles-

mêmes, on trouve

(i6*) r' cosi f = n'r'' -h nrcos if, r'cos2/'= /ir -4- /l'r'cosa/ .

Les équations (i6) et (i6*) donnent pour /et/"' des valeurs dont la somme doit être égale à/' et pour r' deux valeurs qui doivent être égales entre elles.

Ces quantités suffisent pour déterminer par les formules du n* 129 les rapports s, 5', / des secteurs elliptiques aux triangles correspondants.

De ces rapports on déduit les valeurs de V, W, W^^ W^ comme il suit. On a, par définition,

sectr'r" sect rr' , sect rr' [rV] -"' [rr^] "'» [rr']

et, d^autre part,

sectr'r' sect rr* sectrr'

On en conclut

[rr"] 6' s [rr'] 6' s [rr'] 6' s" [r'r"] - e *" [r'r"] " 0 s"' [rr'] ~ 6' 5' '

[r'r-] [rr']

d'où, par les formules (i3),

i^xW'-^j ,f a.ir=4> i-4-arV' = î-, n-ar^r==i.

De ces équations Ton tire des valeurs des quantités W qu'il conviendra d'écrire

Les dilTérences s — 1,5' — i , / — i s'obtiennent de la façon la plus exacte par la formule (i i) du n^ 130

On applique ces diverses formules comme il suit :

ORBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE D'opPOLZER. IqS

Ayant trouvé successivement^, y^fi ^i ^ yf^T -^ ^ y ^t ^'> ^> on calcule les quantités y au moyen des formules (i4) en y prenant pour les W les valeurs (17), et l'on en déduit X, X"'. Après quoi on reprend la résolution des équations (A) dont les coefficients, s'il s'agit d'une première détermination d'orbite, doivent être calculés à nouveau en tenant compte des temps d'aberration, et l'on continue ainsi jusqu'à ce que deux approximations successives donnent des résultats identiques.

Arrivé à ce point, on calcule les coordonnées héliocen triques correspondant aux observations extrêmes par les formules (10); on en déduit, comme dans la méthode de Gauss, la longitude du nœud, l'inclinaison de l'orbite et les arguments des latitudes ; enfin, par les formules du u? 130, on calcule les valeurs définitives de s' et /'. On en déduit les éléments de l'ellipse et les anomalies par les formules du n° 133, puis les autres éléments, comme cela a été indiqué pour la méthode de Gauss elle-même.

Ajoutons que, s'il s'agit d'une première détermination d'orbite, une seule approximation suffit le plus souvent, et l'on néglige entièrement les quantités y* Pour une détermination ultérieure, on corrige les observations de l'aberration planétaire dès le début du calcul.

152. Calcul de Tare héliocentrique 2/' compris entre les positions extrêmes. — La formule (i5) suppose le calcul préalable d'un certain nombre de quantités dont les valeurs varient à chacune des approximations successives. M., Oppolzer a réussi à donner des formules qui expriment l'arc /' en fonction de ^ et .5*' et de quantités susceptibles d'être déterminées une fois pour toutes.

Soient ^,j^, z] 2:", y, i/ les coordonnées rectangulaires écliptiques héliocentrîques des deux positions extrêmes de la planète et X la longueur de la corde qui joint ces deux positions. Les formules évidentes

x« = (r'— r)«+ iirr" sin»/', donnent

Les coordonnées x, y, z s'expriment immédiatement par les for- B. - II. i3

mules

X = Acosp cosX — RcosL, j^ = A cos p sin X — R sinL,

^ = A sin p.

Si l'on remplace dans les deux premières de ces formules \ par (X — L) +L, que Ton développe sinX et cosX par les formules d'addition, qu'on exprime A et R au moyen de r^ z e\if par les formules (9), et sin(X — L) et cos(X — L) au moyen des formules (4), on obtient

- = cos{z-¥- 4')cosL — sin(«-H4;)cos«' sinL,

- = cos(-5-4-4^) sinL -h sin(-5-h<j/)cos»'COsL,

- = sin(^ -h ^) siniv.

Les valeurs de^> ^> 3 s'en déduisent en accentuant les r r r

lettres. La formation de "^f^, — — n'offre pas d'autre difficulté que la peine d'écrire. Les sinus et cosinus des arcs

s'introduisent d'eux-mêmes. Leurs multiplicateurs dépendent de sv et w/ sous des formes qui permettent de les exprimer en fonctions homogènes du second degré des sinus et des cosinus de

— ^^^ et — ; — ; ces multiplicateurs dépendent aussi de sin (L* — L)

et de cos(L" — L) que l'on peut exprimer au moyen de sin

et cos-^ On obtient, ces réductions faites,

rr*

= cosSlsin» cos* sin» sin* )

-h cosDl cos* cos* cos* sm* )

-H asinS sin sin sm cos

. ^ w'—w w'-^w . L'— L L'— L H- 2 sinD cos cos sm cos

ORBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE d'OPPOLZER. igS

Si Toa pose

. -. . iv'-^-w . L*— L p sinP = siQ sm ,

p cosP = sin cos -

on obtient

. ^ cv' -h tv . L" — L ^ sm Q = cos sin -

q cosQ = cos — ; cos — ; — ,

sîn*/' = /)» sin» ( pW q^ sin» (- -^qY

En remplaçant S et D par leur expression (i8) et posant

cette équation devient

(2o) sin»/' = />» sin» ^P'— ^^-^) -4- y» sin» ^Q'+ ^^^) •

Les quantités />, y, P', Q' sont calculées une fois pour toutes, et

l'application de cette formule est évidemment bien plus simple

que celle de la formule (i5).

Il y a lieu de remarquer que l'application des formules (19)

comporte la vériûcation

153. Résolution des équations (A). — Les formules (11), si l'on y remplace les rapports des aires triangulaires par les valeurs (i3), les fonctions W par leurs valeurs (i4)î prennent la forme

I A= A -4-a7(B -H Cy -^X),

X et X" désignant, dans les coefficients de x^ les termes en y. On voit, au premier examen, que B, B'', C et C/ sont de l'ordre o, y de l'ordre i ; X, X" de l'ordre 2 : ces dernières quantités sont tout d'abord inconnues.

Les équations (2 1) sont, pour les observations extrêmes, analogues à l'équation (2). Pour former le système A, il faut leur adjoindre, outre les valeurs (12) de ^ et y, des équations analogues aux équations (3). Nous allons d'abord étudier le système formé par les équations (2) et (3).

ig6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IX.

D'après le n** 142, Téquation (2) peut s'écrire ^ - ?^ sinF / I i.\

et Téquation (3), si l'on y substitue A' à p', devient A'« — 2 R' A' 009 y H- R'» — r'* = o.

Posant

e'e- sinP' I

2 siii/)' R'»

Ces équations deviennent

"Xi*

(25) X«= I — 2Zcosf +Z«.

Par définition Z et X sont essentiellement positifs : par le théorème de Lambert n° 142, m est positif ou négatif suivant que r' est >R'ou<R'.

L'élimination de X donnant l'équation

(i — 2Zcosf-+-Z»)»

Z sera l'abscisse d'un point commun à la droite D, dont m est à la fois l'abscisse et l'ordonnée à l'origine et à la courbe définie par l'équation

(I — 2Zcosf-4-Z«)« [(Z — cos4/')«-hsin»4;']« Cette ligne L est représentée sur \difig. 3i. Le double signe

Fig. 3i.

que comporte le dénominateur donne deux branches symétriques

ORBITES ELLIPTIQUES. MÉTHODE D'oPPOLZEB. I97

par rapport à oZ. Seulement, X étant positif, on ne doit utiliser que celle des deux branches dont l'ordonnée a le signe de m.

Pour Z = o, Y = m; le point correspondant est un point de la droite D, de sorte que le problème a toujours une solution. Mais cette solution, puisqu'elle donne A' = o, correspond à la Terre elle-même. Il est manifeste, d'ailleurs, que le problème admet une autre solution, si du moins les trois observations qui ont fourni les données initiales ont été réellement faites. On voit de suite que Y a un maximum AB correspondant à Z = costj^', et que la courbe offre des points d'inflexion pour

Z = cosij;' ± - siml^'.

Si l'angle aigu formé avec oZ par les tangentes en ces points était moindre que 4^^? il serait évident que la droite D ne couperait la branche utilisable de la courbe L qu'au point C. Donc, dans la pratique, cet angle sera plus grand que 4^^ 6t la courbe aura la forme générale indiquée sur la fig, 3^. On pourra lui

mener d'un même côté du point A deux tangentes T', T'^ parallèles à la droite D et la droite D sera située entre ces deux tangentes. Si les deux points autres que le point G où la droite D coupe la courbe S sont, par rapport à oY et oZ, dans un même quadrant, le problème comportera deux solutions; dans le cas contraire, il n'en comportera qu'une. On voit aisément que, si m est positif, le Z d'un point d'intersection avec la branche utilisable est non seulement positif, mais moindre que /n ; si m est négatif, toute va-

leur positive de Z est acceptable. L'équation qui donne les Z des points communs à la droite D et à la courbe L est

P = (m - Z)«[Z« — 2Z cosf -h 1]»— m» = o.

Le premier membre P est divisible par Z et le quotient Q est du septième degré en Z. D'après ce qui précède, la discussion se réduit à chercher combien l'équation Q = o a de racines positives quand m est négatif, de racines comprises entre zéro et m quand m est positif, et l'on est sûr que le nombre cherché est un ou deux.

Pour Z = o, Q se réduit à — 2m(i-4-3/ncos4'')>

Pour Z = m, » — m,

Pour Z = 00, » -h 00.

Il s'ensuit que, si m est positif, l'équation Q = o a deux racines comprises entre zéro et m quand i 4-3/ncos^' est positif et une dans le cas contraire; si m est négatif, l'équation a deux racines positives quand i 4- 3/ncosA' est positif et une dans le cas contraire. De sorte que le problème admet deux solutions quand i + 3mcos({^' est positif, une seule quand cette quantité est négative.

L'équation (24) conduit aisément à la résolution par tâtonnements des équations (A). A cet effet, on suppose d'abord, dans ces équations (A), y^ X, X" nulles, et on les écrit, en ne négligeant que des quantités très petites du premier ordre.

On en conclut, approximativement, en comparant à l'équation A B . A' B'

m = -K = — TTiTT» m'' =

On adoptera ces premières valeurs '^•,-^à.Qme\ïr!t\

les valeurs i( et J/" données par les formules (4). Après quoi les équations (24) et (aS) donneront X, Z, X"', 1! , A cet effet, il est commode d'utiliser une table (* ) qui donne log(2X)""' au mojen des arguments m, ^ : on prend la moyenne des deux valeurs obtenues de ce logarithme comme étant log(2 V)~'. On retranche de ce loga-

(' ) Table XIII^ du Traité des orbites d'Oppolzcr.

ORBITES CIRCLLAIRES. I99

garithme celui de R'* et Ton a une valeur approchée de x

rr = (2XR')-».

De cette valeur, combinée avec j^ = o, on conclut A et A'' par les formules (21), puis r et r^ par des équations semblables à l'équation (3). On en rend les valeurs calculables par logarithmes au moyen d'angles analogues aux angles z'^ i/' du n® 149. Ensuite les formules (12) donnent pour x Qi y des valeurs Xf^ yf dont les écarts avec les valeurs xi^ yi primitivement adoptées conduisent, comme il suit, à des valeurs beaucoup plus exactes.

Soient Xi+dxi, yi-^àyi les valeurs exactes^ rfr, dr^^ dxf^ dyf les accroissements der, r", Xf^ j^/ qui résulteraient de Fadoption de ces valeurs.

L'équation (3) donne, en négligeant les termes du second

ordre,

dr = cos^ û?A = cos^ (a dxi-^ p dyt),

dr'^co^z" <iA'= cos^'(a'' dxt-^ P' dyt), OÙ

a = B -h Cj^-i-X, p = Ca?,

On a ensuite, par les équations (12),

En portant ces valeurs dans les conditions évidentes ari-h dxi^Xf^ dxf, yt-h dyt^ y/^ dyf,

on obtient les équations

yf^yt^ 2R(r-t-r')-« c?a:/+ [i-h2S(r-h /^)-*] d[X/>

P = a cos^ -H ^ cos^', R = ar* cos-3 — a'r cos-s", Q = P cos-5 -H P'cos^', s = pr'cos^ — P'r cos-s'.

La résolution de ces équations donnera pour dxt et àyi des valeurs très approchées. On réitérera, s'il y a lieu, l'application de la méthode.

154. Orbites circulaires. — La méthode d'Oppolzer donne un algorithme très commode pour la détermination d'une orbite sup-

posée circulaire. Il suffit alors de deux observations complètes, rcxcentricité et la longitude du périhélie n'étant plus à déterminer. Nous conserverons dans ce qui précède les observations extrêmes. Il va sans dire que Ton ne se préoccupe dans ce problème ni de la réduction à un même équinoxe, ni de la parallaxe, ni de l'aberration.

Ayant tiré des éphémé rides les longitudes du Soleil et conclu des observations les longitudes et latitudes géocentriques de la planète, on détermine les auxiliaires <J/, w, if y w^ par les formules (4), /?î P'; q^ Q' par les formules (19) et (19 bis). Attribuant à a une valeur arbitraire, on calcule z et j^ par la formule (7) quî, r et r'' se confondant avec a, donne

Rsinrl . ^ R'sin^'

sin^ = -j sinz*= —9

et Ton détermine y par la formule (18). Si la valeur de a était exacte, la valeur de/' serait identique à celle que donne la dernière loi de Kepler

Iç f i /.

/" = ^ ï> où log 5 = 3,2489796.

J aarci °2arci' > -• î?/^

Au moyen d'un second essai et d'interpolations, on arrivera rapidement à la vraie valeur de a.

Ayant a, on détermine ainsi les éléments : on a A= Rcost}/ -hacosz, A'=R'cost}/''-ha'cos.5",

puis on détermine les coordonnées héliocentriques par les formules (10), où p est remplacé par Acos^; enfin, on a i qui est toujours aigu et 9 par les formules (10'). On en conclut les arguments de la latitude par les formules (lo'^) et Ton vérifie que

Enfin la relation [jLa« = Â:^, où logÂ:^= 3,55ooo66, donne le moyen mouvement |x.

Il est inutile de transcrire les formules qui peuvent servir à construire une éphéméride en partant des éléments ; il suffît de remarquer que dans les expressions des coordonnées rectangalaires héliocentriques, les arguments sont des fonctions linéaires du temps.