Hodographe de Hamilton. — Si Von mène par le centre S

du Soleil un vecteur égal et parallèle à la vitesse de la plu-

ne te y le lieu de l^ extrémité de ce vecteur, nommé hodographe,

he est un cercle dont le rayon ^est — , et dont le centre, situé sur

la perpendiculaire à V axe focal menée par le centre du Soleil,

a pour ordonnée — (A désigne comme ci-dessus la constante des

aires, p le paramètre, e l'excentricité).

Cette propriété est presque évidente si, au lieu de mener le

vecteur parallèle à la vitesse, on le mène perpendiculairement à cette vitesse.

Soient, en effet {^fig^ 34), S le centre du Soleil, S' Tautre foyer

Fig. 34.

de l'orbite, O son centre, P la planète, PP' sa vitesse, T, T'ies projections de S et S' sur la tangente PP'. Menons le vecteur SH égal et parallèle à PP' et portons sur ST une longueur SA égale à PP'. La loi des aires exprime que le double du triangle infiniment petit compris entre le rayon vecteur SP et un rayon vecteur voisin est égal à hdt. Donc

ST.d/5 = A^//, d'où

ST.SA = /i.

On a aussi

ST.S'T'=a/?, d'où

SA A ST' ~ ap'

Menons par le point A une parallèle AB à SP jusqu'à sa rencontre avec l'axe focal. La similitude des triangles SAB, S'T'O donne

AB yL j^ or ~ S'O ~ ap' Donc

AB^ ^ = -4^ =l/^> SB= ^ =ei/S.

Le lieu du point A est donc un cercle du rayon — ayant pour

centre le point fixe B. Il s'ensuit que le lieu du point H est un cercle de même rayon dont le centre est situé sur la perpendiculaire menée en S à l'axe focal à une distance du point S égale à SB.

aSo DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI.

M. Darboux a remarqué que la construction du point B conduit immédiatement aux intégrales de Laplace. A cet effet il énonce le théorème en ces termes :

Si Ton mène un vecteur SA. perpendiculaire à la vitesse de la planète et égal à celte vitesse, puis par le point A un vecteur

parallèle à SP et égal à -.-, / étant le coefficient de Tattraclion,

[A la somme des masses du Soleil et de la planète, le vecteur résultant SB est constant.

Soient x^ y^ z les coordonnées du point P par rapport à trois axes rectangulaires ayant pour origine le centre S du Soleil.

Les composantes du vecteur AB sont

h r h r ii r

Pour avoir celles du vecteur SA, observons qu'il est perpendiculaire à la normale au plan de Torbite, laquelle fait avec les axes

des angles dont les cosinus sont y» t-j j {c^ c'^ c" étant les trois

composantes de A), et à la vitesse du point P, et qu'il est égal à cette vitesse.

Les cosinus des angles que fait SA avec les axes sont donc

c" dv c' dz

c dz

c" dx

c' dx

c dy

h ds h ds '

h ds'

h ds

et les composantes de ce vecteur sont

c" dy c' dz c dz c" dx c' dx c dy Ti ~di ^ h d}' h~dï ~ Il ~di' Ti IH ~ Ji~dt'

Les équations qui expriment que les deux vecteurs ont une résultante constante sont donc

^ X -dy , dz .

^ ' r dt dt '

^ y dz „ dx „

-^ ^ r dt dt

^ z , dx dy '

LOI D£ NEWTON. 25l

les nombres — t» — ~r> — t désignant les coordonnées du

point B.

Nous retrouvons les équations (4») équivalentes aux intégrales de Laplace.

M. Darboux montre d*ailleurs que la propriété qu'a le point A de décrire un cercle est intuitive si l'on part, non pas de ce que l'orbite est une section conique, mais immédiatement de la loi de Newton.

En effet, la vitesse du point H est visiblement égale et parallèle

à l'accélération ^^ du point P. Celle du point A est donc perpen-

diculaire à SP et égale à ~p^-

D'autre part, prenons sur SP un vecteur SC égal à -i- • Le point C

décrira un cercle et sa vitesse sera ^ -7- , ou, à cause de la loi

h ai '

des aires, ^^-«

Le point A et le point C ont constamment des vitesses égales et parallèles. On peut donc passer de la trajectoire de l'une à celle de l'aulre par une simple translation. Si donc on mène AB égale et parallèle à CS. le point Best fixe et le lieu du point A est un cercle ajant pour centre le point B.

180. Éléments des orbites elliptiques des planètes principales. — Nous donnons ici, d'après V Annuaire du Bureau des Longitudes, les éléments des orbites des planètes principales et d'autres éléments concernant les dimensions de ces planètes, du Soleil et de la Lune, et leur mouvement de rotation.

Dans la première colonne, on a représenté ces astres par les symboles suivants constamment employés par les astronomes :

Mercure "Ç Jupiter ^

Vénus Ç Saturne \)

La Terre 5 Uranus ^

Mars (5" Neptune ^

Soleil O Lune C

Noms,

Révolutions sidérales

Moyens

en années juliennes

nouvements

et Distances moyennes

diurnes.

jours moyens.

au Soleil.

Excentricités

ans ^-24,700787