TU
OU, en exprimant cos au moyen de «,
i — e cos u r
Enfin on trouve
r'^ d^ = a>/i — e-r du=z a*/i — e-(i — e cosu) du.
La substitution de cette valeur dans l'équation (32) donne
(33) w — ôsinw= {t — (q),
/o étant la valeur de t à l'époque où a est nulle.
L'intégration a introduit les constantes arbitrair.es c, c\ d'y e, w, ^0, au nombre de six. Les équations (27), (3o), (3i), (33) donnentbien l'intégration complète des équations (A'), la constante a qui entre dans l'équation (3o) étant fonction de c, (/, c", et e."
IL Si e = I, l'orbite est parabolique; l'équation (3i), si Ton y remplace y- par 2q, s'écrit
cos*
L'équation (32) donne
son intégration est immédiate; elle conduit à Téquation du troisième degré
(34) ^ang— ^-^3^ang'— 7— = ^(^"''°)'
/o étant l'époque à laquelle Tangle 9 — ut est nul.
III. Si <? > I l'orbite est hyperbolique. Pour intégrer l'équation (82) des aires, on fait un changement de variable en posant
6 — Tn /e H- I E"— 1 tang = 1/ r: 3
où E désigne la base des logarithmes népériens. On trouve successivement
( r d^ = — a y/e* — i du;
d'où par substitution dans l'équation (3â) des aires
( e I ] du= , dt,
V ^ / aVe«— i
et en intégrant
(36) e u= (t-^to)=^^-^it-to),
2 aWe^-i (__a)ï
^0 étant l'époque à laquelle u est nulle et 6 égale à gj. C'est l'époque du passage au périhélie.
On peut transformer utilement ces formules en introduisant à la place de u une variable F définie par la relation
(37) n = tang-.
V // E"-hi ^ 2
Si l'on pose
comme ou a
0 — w ^ /e-hi F
tang-— = ^^— ^ tang-,
a44 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI.
la relation entre u et le temps devient
elangF — logtangf^ H- -j =n(< — /o).
La variable F est analogue à l'anomalie excentrique.
176. Seconde méthode d'intégration des équations du problème des deux corps; intégrales de Laplace. — On a d^abord les intégrales des aires
, ^^ dz dy , dx dz dv dx
On déduit aussi des équations (A') Téquation (40) 0^-0-^+/^--^:^— =o,
puis des intégrales des aires la suivante
ff / / , •x^^ / dy dz\
/ • • o X ^-^ / dx dy dz\
. dx dr
Cette valeur étant introduite dans Téquation (4o), celte équation devient
"" dt^ dt^ dt\ r )-'''
L'intégration est immédiate ; elle donne la première des équations suivantes dont les deux autres se déduisent par des permutations circulaires
dt dl r
dt dt r
Si l'on remplace dans les premiers membres de ces équations (40 c, </, c" par les valeurs que donnent les intégrales des
aires, on obtient les trois intégrales suivantes dues à Laplace
Ie . X dx l dx dy dz\ f dx^ dy^ dz^\
„ r y dv l dx dy dz\ l dx^ dy^ dz*\
I . 3 dz ( dx dy dz\ /dx* dy* ds*\
\^=-^^7^dt\'-df-^^dT^ = di)-'[dï^^-à^dF)'
En joignant aux trois intégrales des aires et aux trois intégrales de Laplace celle des forces vives
. . . dx^ dy^ dz^ j- / ^ i \
('<»> ■dï^^iF^dïi=-^^[-r-â)'
on a sept intégrales premières du système A'. Ces sept intégrales ne sont pas distinctes, puisqu'un système de trois équations différentielles du second ordre ne peut en avoir que six ; et même, le temps n'entrant dans ces sept intégrales que par sa différentielle, elles se réduisent non pas à six intégrales distinctes, mais seulement à cinq, l'intégration qui donnera t devant introduire une nouvelle constante arbitraire. On peut donc affirmer qu'entre les sept constantes c, c', c'^, f, f, f, a il y a deux relations.
Si Ton multiplie les deux membres des équations (42) respectivement par c, c', (/\ on obtient immédiatement, en tenant compte de l'équation (28), la relation
(43) cf-t-c'f-f-cT=o.
D'autre part, en posant
/î= fi-h f«-i- r*,
on déduit des équations (42)
7, /•• • .Z^^* ^r* dz^\ [dx^ dy^ dz^ ifiil / dx dy dzyrdx^ dy^ dz^ 2fiil
d'où
-^ ^ " \dt^ dt^ ' dt^ dt^ J L ^^' dt^ ^<' ^ J
Comme les intégrales des aires donnent
l'identité précédente devient
Les relations (43) et (45) sont les deux conditions cherchées.
Les intégrales précédentes donnent comme il suit la trajectoire
et la position de la planète dans son orbite.
L^équation
cx-^c'y-\'c''z = o
déduite des intégrales des aires indique que l'orbite est plane et
j:> j^ Y sont les cosinus des angles que la normale à son plan fait
avec les axes de coordonnées.
Les équations (4i) donnent immédiatement
ÏX -i- f> -h VZ = f {JL/- — A*,
équation qui exprime que Torbite est une section conique ayant l'origine pour foyer.
Si X, Y, Z sont les coordonnées du périhélie, point pour lequel
dr
— =z o et r = a{i — e), les intégrales de Laplace donnent
f r r yv
X, Y, Z étant les projections sur les trois axes de la distance périhélie r, f, f, f sont les projections sur les mêmes axes d'une longueur f^e portée sur l'axe focal en sens inverse de la distance périhélie, c'est-à-dire vers le centre.
Si R désigne le rayon vecteur du périhélie (ou de l'aphélie), l'équation (44) donne, en tenant compte de l'intégrale des forces vives (3o),
OU
La demi-somme des rayons vecteurs extrêmes ou le demi-axe focal est donc a et l'excentricité e est donnée par la formule
d'où, en tenant compte de la condition (43),
Enfin on exprime r en fonction du temps en combinant l'équation (44) avec l'intégrale des forces vives; on trouve
, r dr
dt —
équation que l'on intègre en exprimant r au moyen de l'anomalie excentrique ou de l'angle analogue dans le cas de l'hyperbole, et qui s'intègre immédiatement dans le cas de la parabole.
177. Lois de Kepler. — On trouvera dans le premier Volume de la Mécanique céleste de Laplace et dans l'Ouvrage de M. Tisserand d'autres procédés fort élégants d'intégration. Nous nous bornerons ici à déduire des méthodes précédentes l'énoncé exact de la troisième loi de Kepler.
La constante des aires h est le double de l'aire décrite dans l'unité de temps. Si g est le double de l'aire décrite dans le temps t^
Or on a vu que, si/? désigne le paramètre a{\ — e-)^ Donc
ce qui est l'énoncé de Gauss.
Si l'on prend pour t la durée T de la révolution en supposant le mouvement elliptique, ce qui a lieu pour toutes les planètes, g
est égal à iiza^sf i — e^. L'équation (46) donne — Tï~ =f\^ =f{rn^-^ m).
178. Détermination de la masse d'une planète ayant un satellite, — La loi de Newton permet, par l'application delà troisième loi de Kepler, de déterminer la masse d'une planète dont le mouvement et la distance au Soleil sont connus, quand on connaît la durée de la révolution d'un satellite autour d'elle et la distance de ce satellite à la planète.
Soient en effet m© la masse du Soleil, m celle de la planèle, m^ celle du satellite, a, T le demi grand axe de l'orbite de la planète autour du Soleil et la durée de sa révolution sidérale, a! le demi grand axe de l'orbite du satellite autour de la planète et la durée de sa révolution sidérale. On a les relations
d'où
Si Ton néglige la masse du satellite par rapport à celle de la planète, ou si, par d'autres considérations, on connaît le rapport
de ces deux masses, cette relation donnera le rapport — de la masse de la planète à celle du Soleil.
