AM=:AB

sinM

L'erreur probable a pour expression

V V AB y "^UangBy "^V^aDgMJ

Le triangle est donc défavorable quand l'angle M est trop petit. Cest le cas où se trouvent toujours les Astronomes. Comme, dans leurs opérations, la base est parfaitement connue et les angles A et B presque droits^ la formule ci-dessus se réduit à

^AM âM AM ~~1Â"

La plus grande base que nous fournisse le globe terrestre est 2 (p). Même avec cette base, le triangle ayant le Soleil à son sommet donnerait M = 1 7" environ . Les angles A et B ne pourraient, certes, pas être mesurés à la seconde ; la valeur de M conclue serait donc

aflectée d'une erreur absolue de plus de i"^'2= i",4' L'erreur relative de la distance serait supérieure àY^,ou de ^. Les distances absolues seraient donc connues à ^j près tout au plus, et les masses ^4- On sait, au contraire, avec quelle précision ces distances et ces 'basses sont déterminées quand on les exprime en unités astrono- 'tiques.

Ainsi Tangle en M est trop petit; la distance du Soleil est trop

^'^de pour pouvoir être mesurée ainsi. Mais, précisément

P^rce que les rapports de toutes les distances è celle-ci sont parfai-

^'^ent connus, on n'aura qu'à substituer, à celle du Soleil, celle

^Ue planète très rapprochée de nous.

aïO LIVRE V. — CHAP1TRI-: XXII.

Parallaxe de Mars.

Le demi-grand axe de l'orbite de cette planète est i,5!>.; son excentricité est de 0,098; la plus grande distance du Soleil à It Terre est de 1,017. Par conséquent, si Ton observe Mars on opposition lorsqu'il est au périhélie et la Terre à son aphélie, sa dislance à la Terre sera 0,862, en sorte que l'angle en M sera trois l'ois plus grand que dans le triangle précédent.

Il y a plus, par un artifice particulier aux astronomes, on mesure cet angle directement, tout comme si robservateur se trouvait en M, et cela avec une précision décuple. On peut ainsi espérer obtenir la parallaxe du Soleil, par l'observation de Mars, a\ec une certaine exaclitude.

Choisissons, sur un même méridien terrestre, deux stations A. A aussi éloignées que possible Tune de l'autre, et plaçons-v deux observateurs. Au moment où la planète Mars passera par le méridien céleste des deux stations, chaque observateur mesurera micrométriqucmenl, dans le champ même de sa lunette, la diflerence

Fig. 37.

de distance polaire entre Mars et quelque petite étoile très voisinf dont le choix aura été convenu d'avance. Désignons par^i,rj les distances zénilhales (non alFectées de la réfraction) de la planète, distances qu'on n'aura même pas besoin d'observer c\ qu'on tirera d'une éphéméridc; par ^ ou A' Tangle compris, on chaque station, entre le rayon terrestre TA et la verticale AZ. Les corrections de parallaxe />, />', c'est-à-dire les angles AMT, A' MX, seront

formules où nous omettons d'écrire le facteur 206265*. Désignons, d'autre part, par a et ^ les petits angles mesurés micrométriquement aux deux stations entre Mars et l'étoile E, c'est-à-dire entre le rayon visuel AM et la direction AE dans laquelle apparaît rétoile E. Comme les deux directions AE, A'E' sont parallèles, on aura

par conséquent

a4-p=[psin(^, — iî/)-Hp'sin(s; — f )J ~.

Cette formule donnera D, distance de la planète au centre de la Terre, en parties de l'unité linéaire qui sert à exprimer p et p', c'est-à-dire du rayon équatorial (p) de la Terre.

Sans doute on obtiendrait aussi M par la relation

mais alors on s'exposerait aux erreurs qui affectent les distances zénithales, erreurs provenant de la graduation des cercles, de la flexion des instruments, de la réfraction, etc. Ces erreurs disparaissent dans les mesures différentielles de a et p, parce qu'elles affectent également les deux astres.

Si lesdeux stations n'étaientpasexactementsur le même méridien (elles doivent être choisies sur les deux hémisphères), il s'écoulerait un temps / entre la mesure de a et celle de p. Dans cet intervalle, la distance polaire varierait de -7- /, quantité qu'on tire

fort exactement des éphémérides de la planète ; on l'ajoute à la dislance mesurée a pour la ramener à l'instant où jâ a été obtenu dans la deuxième station.

Par de nombreuses observations faites simultanément sur les deux hémisphères, on a obtenu la valeur numérique de

206265*' ^> c'est-à-dire la parallaxe de Mars à la distance D,

au moyen de triangles où l'angle au sommet était de 40" à 5o". Cette distance D étant bien connue par les Tables de Mars, en parties de a, on en a conclu

aia LIVRE V. — CHAPITRE XXII.

pour la parallaxe horizontale du Soleil. C'est une première détermination astronomique de cet élément capital. La méthode est due à D. Cassini et a été appliquée, en 1671, par les astronomes français. Ce sont eux qui ont effectivement mesuré, pour la première fois, la distance de la Terre au Soleil. Leur résultat, 9^,5, était un peu trop fort; cela tient en partie à l'insuffisance de la base Cayenne-Paris sur laquelle ils ont opéré.

Parallaxe de Vénus.

Vénus, en conjonction avec le Soleil, se projette parfois sur cet astre. Le rayon de son orbite presque circulaire étant 0,723, sa distance à la Terre est, à l'époque de ses passages sur le Soleil, de I — 0,723 = 0,277. ^^ outre, la circonstance que Vénus se projette sur le Soleil comme une tache noire parfaitement ronde semble être de nature à faciliter les mesures. Donnons d'abord une première idée de ces phénomènes célèbres, auxquels s'intéressent en ce moment toutes les nations civilisées.

A cause de l'inclinaison du plan de l'orbite de Vénus sur l'écliptique, celte planète ne se projette pas sur le Soleil toutes les fois qu'elle est en conjonction interne avec lui : il faut encore qu'à l'époque d'une conjonction la planète soit voisine de l'un de ses nœuds. Celle coïncidence arrive à peu près deux fois par siècle, à huit ans d'intervalle. Voici les dates de quelques-uns de ces phénomènes :

i63i 7 déc Passage prédit par Kepler.

1689 4 déc Non observé

1761 5 juin ) rxt . ,

^f. o ' ' \ Observes par des astronomes de tous les pavs

I y OQ <J Juin. ... 1 "*

1874 9 déc Observé par des astronomes de tous les pays.

1882 6 déc Sera observé incessamment.

aoo4 8 juin. . . .

2012 6 juin

Deux observateurs, postés en deux stations très éloignées A cl A' sur les deux hémisphères, voient au même instant la planète V se projeter sur le Soleil, Tun en v, l'autre en i/. Évidemment, le déplacement vi^ est un effet de parallaxe, et le Soleil joue ici le même rôle que l'étoile à laquelle nous avons comparé Mars. Seulement,

aiS

comme il n'est pas à Finfini, il a lui-même une petite parallaxe qui, pour le point i^, sera Ai^'A'. En d'autres termes, de Vénus, on voit la base AA' sous l'angle V, et du Soleil, en v^, on la voit

Fig. 38.

SOUS l'angle v*. La différence est (^'Ar, distance angulaire des deux points v et v^ sur lesquels Vénus se projette sur le Soleil. La proportion, dont les Tables donnent le second membre,

sm(^

?\ïiv' Xv \v'

fera connaître l'angle v' sous lequel on voit, du Soleil, la base AA', pourvu qu'on ait mesuré l'angle i^'Ai^. Cet arc ne s'obtient pas directement. Halley proposa d'y appliquer le procédé suivant.

Fig. 39.

L'observateur A voit Vénus se mouvoir sur le disque du Soleil et parcourir, en un certain nombre d'heures, la corde ab. L'observateur A' lui voit décrire la corde a' 6'. Si l'on note en chaque

2l4 LIVBB V. — CHAPITBE XXII.

stalion Tinstant du contact du disque de Vénus avec celui du Soleil, on aura le temps employé à décrire la corde correspondanle, et on en déduira aisément la longueur ab de celle corde, car le mouvement angulaire de Vénus par rapport au Soleil, à tout instant, est parfaitement connu. Dès lors Ja distance de la corde au centre sera

A étant le diamètre angulaire du Soleil.

En faisant le même calcul pour a'b'^ la dislance des deux cordes, c'est-à-dire Tare v'/ou son équivalent rAr', sera obtenu.

Tel est à peu près le procédé proposé par Halley; il avait à ses yeux le méfile de substituer la mesure du temps à la mesure toujours plus délicate des arcs. Halley croyait surtout qu'en observant ce phénomène comme une éclipse de Soleil par la Lune, c'està-dire en notant les instants des deux contacts intérieurs du disque de Vénus et du disque solaire, on obtiendrait une très grande exactitude.

Prédiction d'un passage de Vénus.

Pour qu'il y ait conlacl, il faut que la dislance des centres de* deux astres soit égale à la somme ou à la diCférence des demidianièlres apparents. -R, o, * A étant les coordonnées géocentriqucs du Soleil et son demi-diamètre angulaire à la date /, Noisine de Finstanl du phénomène; .R', o', 7 A' désignant les mêmes donnée^ pour Vénus; //i, // les variations horaires de -i^ — .\\\ o — 0': la distance variable d du centre des deux astœs sera le troisième côti' du triangle sphérique SPV. On aura donc

cosd - co>o coso' -^ siiio sino' cosi .ft — --R'^.

Mettons pour cosd

i — 1 ûn-\d, et pour cosuR — À\' )

I — a>in-I(.R — .R^, il viendra

sin-ir/- :sin'J(o — 01 — sino sino' sin' J (.R — .f\').

DIMENSIONS ABSOLUES DU SYSTÈME SOLAIllE. 2l5

équation dans laquelle on peut remplacer, sans erreur sensible, les sinus par les arcs correspondants. L^équation du problème sera donc, à la date / -h 0 (en ajoutant à chaque quantité la varialion horaire multipliée par Tindéterminée 6),

[ ; (A — A') -f-/?0]2 ir:(a — o' 4- /iO)2 H-(,^ ,ft' 4- „jO)2 sino sino'.

Les deux racines de cette équation, 0' et ¥, donneront H + 0', H -h 0" pour les instants des contacts intérieurs vus du centre de la Terre en temps moyen de Paris.

Gela posé, si Tobservaleur est placé, non plus au centre de la Terre, comme nous venons de le supposer, mais en un point de la surface ayant L et A pour coordonnées géographiques, il faudra appliquer aux M et o géocentriques les effets de la parallaxe en ascension droite et en distance polaire (p. 182), ce qui donne

, sincsinE

M — JR' -i- m(i -h (t: — tz') ^-^ —

sino

sin^sino'

[8 S' ^ ,ie -i- ( t: — r') sin2 cosE]2 HZ • ( A — A' 4- vO)5.

Ces termes ayant été calculés pour la date ty qui implique l'heure locale H = Hp-j- L, on prendra pour Al, qui figure dans le calcul de E, la valeur moyenne

Les coefficients m et n doivent comprendre et exprimer ici les variations horaires des M et des 3 tels qu'ils sont vus par l'observateur, c'est-à-dire affectés de la parallaxe. C'est par ces calculs préliminaires qu'on se prépare à l'observation du phénomène ; on détermine même, à l'avance, le point du disque solaire sur lequel Vénus fera sa première impression (p. 838).

Calcul des observations.

La même équation, moins les termes en 0, donnera la correction (^(71) de la différence ir — tt' des parallaxes, lorsque le phénomène aura été observé, c'est-à-dire lorsqu'on aura déterminé l'heure de chaque contact.

Al6 LIVRB V. — CHAPITRE XXII.

Désirons par H l'heure observée ; pour celle heure ou plut^ pour l'heure H -f- L de Paris, on lîrera des éphémérides les coordonnées des deux astres et leurs diamètres apparents; puis, en nommant à(M), <^(o), à(Ji) et 0(7:) les corrections dont les différences tabulaires M — JR', o — o', A — A', tz — ir' ont besoin pour être mises d'accord avec robser>'ation , par N* la quantité

^ ' smo J

^[a a'4(^.^')sinccosE]* — i(^ — ^')%

on aura une équation de condition de la forme

en négligeant, bien entendu, les carrés, les doubles produits, etc., de ces petites corrections.

Chaque observation de contact intérieur donne lieu à une équation de condition de cette forme; mais, pour traiter leur ensemble par la méthode des moindres carrés et obtenir ainsi les valeurs les plus probables des inconnues, il faut que les obsenrations ne soient pas entachées d'erreurs systématiques.

Déformations optiques à l'instant des contacts.

Malheureusement, ce genre d'observation n'a pas du tont répondu à l'altente générale. Au lieu du contact géonnétrique de deux cercles (le contour lumineux du Soleil et le contour noir de la planète), on a vu apparaître, au moment décisif, une espèce de ligament noir qui s'allongeait entre les bords voisins, et finissait par se rompre lorsque les disques paraissaient être déjà loin du contact. Delà des incertitudes singulières chez les observateurs. Les uns prirent pour le moment à observer celui où les disques prolongés par la pensée à travers la goutte noire leur parurent se toucher; les autres le moment où le ligament noir ou la goutte noire se brisait et laissait apparaître subitement un mince filet lumineux. Le calcul de pareilles observations devait conduire à des résultats fort diflerenls selon qu'on adoptait Tune ou l'autre interprétation.

Lalandc a donné l'explication fort simple de ces apparences

par des causes purement optiques. Un point lumineux, une étoile, par exemple, dont le diamètre angulaire est insensible, prend dans nos lunettes des dimensions appréciables et présente un petit disque factice dont Téclat décroît rapidement du centre au bord. C'est un effet de diffraction compliqué des effets de Pimperfection de l'objectif. Il doit donc se former aussi, autour du disque du Soleil^ une étroite auréole factice qui l'amplifie un peu, tandis que le disque de Vénus, vu en projection sur le Soleil, se trouve rétréci d'autant par la même cause.

Gela posé, un peu avant le contact intérieur, le bord vrai du Soleil, celui qui est en pointillé sur la fig, 4o, étant interrompu

xV 3.

Fig. 4o.

sur un petit espace par le bord réel de Vénus (n° 1 ) , les deux auréoles, extérieures pour le Soleil, intérieures pour Vénus, se trouvent supprimées sur une largeur équivalente, et les deux disques apparents semblent reliés par un espace noir. Celui-ci va en diminuant jusqu'au contact représenté au n® 2. Alors l'espace noir se réduit à un ligament noir qui se rompt subitement lorsque, entre les bords vrais, réapparaît un filet lumineux du Soleil (n*^ 3). Celui-ci est tellement brillant qu'un élément presque infiniment mince du bord, très exagéré sur le n*^ 3, suffit pour faire reparaître les auréoles factices des deux disques et dissiper la singulière apparence que nous venons de décrire. L'instant du vrai contact n'est pas, à la vérité, celui de l'apparition ou de la disparition de ce

ai8 LIVRE V. — CHAPITRE XXII.

filet lumineux, mais il n'en diffère que de bien peu, peut-êlred'aoc fraction de seconde, tandis qu'il ne n*pondnullemenl au contact apparent des disques, tels qu'une lunette nous les faJl voir ( * •.

Parallaxe conclue pour le Soleil.

Les astronomes du siècle dernier surent apprécier ces circonstances physiques : ils se décidèrent à rejeter les observations d« contact géométrique dont Terreur est impossible à apprécier, cl ne prirent que les observations de Tapparition ou de la rupture du filet lumineux. Leur résultat, Ti^S^^Sia, très voisin de la vérité comme nous allons le voir, est celui que Laplace a adopté dans la Mécan ii]iu* céleste.

Malheureusement, un jeune astronome s'imaiîina,en iSo-i, quon avait eu tort de trier les (>bser\ations. Il entreprit de déterminer la parallaxe du Soleil sur rensemble de toutes celles qu'on a\ail recueillies, en les traitant par la méthode des moindres carrés. Il trouva ainsi 8^,5- avec une erreur prol>able de o*,o3. Chose singulière, la faiblesse de cette erreur probable frappa tout le monde: on s'empressa de substituer ce faux résultat à la vraie valeur, sans songt^r que la méthode des moindres carrés ne s'applique pas à des observations dont une partie est visiblement entachée d'erreurs s\>témati(|ues, e! que, dans ces circonslaoces, l'erreur pix^bable qu'où en déduit n'est |>as une ijarantie « t. I, p. 0L^^ '.

L'adoption de celle \aleureut de sin;:ulières conséquences. LerrtMir était dt* l^ sur la distance: elle devenait j^ nu — sur la nia>se de la lerre. Le calcul de> perturbations causées par la Terre sur les planètes xoisiues, \ énus et Mars, donna des résultats trop faibles de ^, C.Vî.iil coîume s'il axait maïupié une fraction notable Je

<* Vu »1 riiuT pj^vâio. eu i"^*». U •» •>S'»-.T\u" 'ors onl fu < *\i\ «l'«'fiij»l.»\«'r Jf* luarlîo^ i'U.^^iUlc^. inîM^'> ju jvMut *\ .* uu vm ptrlu*u!:trr. riu-icurs ti'rnlir O» • ouï |<i* \u lo pu luriu-ue du Iu^iik'hI n.-ir: ta ix'vauohc. lU .>ul u.»tr. a i'iut'Uot \lu *'>'nî.i. ; ;: • 'uuîrt'iuo. ^îos lr^u^> :iiaii'u U'^*^ sur le •.li**iu:r *\\: Vônu*».

Les iv>^ut;j:x vlc'o n»Miit»reu>*% ^ù»^*r\aii>'0'' ijîie^ À CT't.e tH'ru>ion n»* x»ot p** <'ii.>^rv o.viuux i\.inp:c;c:iK*uî. V u ui^. r |s4r ov .{uî a de publie jus«)u'i i. il* ^'"^ lort vi.^.- 'î .i.tït^. lu :M.'.h.>vl»' jh : -^t jj :ii ju ■. «jue j 4\ui> |»r , t«>»-e iiii»;-iiicuKi n\AttrjL:t jvi^ n n pîux A .mio i » r --'.a.^ t.;.:i ^ix-ûlsanl-. <.»n attend a^oc o»^ VMTte »i a:»\,e c le re^uîui de^ e\p -i. •.....!> .;ue i\»a prépara en c« luonieot p«>of ** |Mi>^fe Ue vKv,ml*ro (>r\s*b4iii. ci» in>'.

D1MENSX02<ÏS ABSOLUES DU SYSTEME SOLAIRE. 219

.a masse de la Terre. Après avoir cherché en vain à remplacer la masse manquante dans la région de l'orbite terrestre par des anneaux hypothétiques de matière invisible circulant autour du Soleil, etc., on finit par reconnaître que ces discordances devaient être imputées à une fausse parallaxe, et Ton chercha d'autres méthodes que celle des passages de Vénus, qui avait autrefois inspiré une confiance absolue. On s'adressa d'abord aux petites planètes, malgré leur grand éloignement, parce qu'elles sont aussi faciles à observer a>'ec précision que les étoiles, tandis que les planètes à disques notables, comme Mars ou Vénus, dont il faut observer les l)ords, donnent lieu à de singulières difficultés optiques. Il n'y avait pour cela qu'à utiliser les oppositions favorables de Flore et de Junon. Le procédé est identique à celui qui a été appliqué à Mars; on en trouvera les résultats un peu plus loin. Enfin on eut recours à des méthodes bien différentes, dont nous allons parler.

Déterminations fournies par la Mécanique céleste.

Les perturbations des planètes ou de leurs satellites dépendent de leur éloignement mutuel et de leurs distances au Soleil. Il est <JOnc naturel que, dans l'expression analytique de ces inégalités, ^là rencontre parfois la parallaxe du Soleil.

Inégalité par allaclique de la Lune, — C'est ainsi qu'une iné- S^lilédu troisième ordre, dans la théorie de la Lune, a pour expression

^ — ; sinfanom. moy. (T — anom. moy.Q),

i \ n^ \a ni "^ '^

'^ et a étant relatifs au Soleil, n\ a\ m' à la Lune. La masse m' de *^ Lune s'obtient de diverses manières ; elle est de -7- à très peu près. *-es moyens mouvements n et /i' du Soleil et de la Lune sont con- ^^s. Reste donc le rapport — > qui peut s'écrire

à sinir'

(p) sïiit:'

en désignant par i^ et tz les parallaxes de la Lune et du Soleil. L'observation de la Lune au méridien permet de déterminer expérimentalement la valeur numérique du coefficient de cette inégagalité; on a trouvé ainsi laS'', 2. De là la relation

. / m'\ „ sinir I

jsm.(^i^-j

Avec les éléments de Torbile lunaire dont on trouvera plus loin la valeur, on en déduit

Inégalité mensuelle de la Terre. — Dans la théorie de la Lune, on trouvera l'explication d'une inégalité mensuelle de la Terre due à l'action de la Lune ; l'expression analytique est

m' a' In

a tn

-sin(C-O).

Les observations méridiennes du Soleil donnent 6*^,50 pour le maximum de cette inégalité. On en déduit

sin 71 m ^ff f,

sin tt' m

d'où l'on tire

Perturbations produites par la Terre. — Enfin un troisième moyen de déterminer cette parallaxe se tire des p<*rturbations que la Terre produit dans les mouvements des planètes les plus voisines, c'est-à dire de Mars et de Vénus. Comme ces perturbations sont proportionnelles à la masse de la Terre, on comprend qu'elles offrent un moyen de déterminer cet élément,

c est-à-dire le rapport ^ • Or ce rapport s'exprime aussi, comme

nous Pavons vu, en fonction du cube de sin??. De là un dernier moyen d'obtenir cette parallaxe. M. Le Verrier a trouvé ainsi (sauf une légère correction due à M. Stone)

iri=:8",83.

Méthodes physiques par la vitesse de la lumière.

Nous verrons que la vitesse de la lumière, telle qu'elle résulte de l'observation des éclipses des satellites de Jupiter, ou plutôt du phénomène de l'aberration des fixes, est

W :i^ -, ?: par seconde.

D'autre part, les physiciens ont réussi à mesurer directement cette vitesse en mètres.

M. Cornu, en suivant la méthode de M. Fizeau, a trouvé 3oo4oo^"ifi 1000'"" par seconde. M. Michelson a obtenu, par la méthode de M. Foucault perfectionnée, 299940*^*" ± 100''™. On en déduit immédiatement a en multipliant ces nombres par 497>78;

( 0 ) puis on obtient tc parsinit^ -^- Le premier donne tz=z 8'', 799;

le second 8", 81 3. L'erreur probable relative du nombre 497% 78 ^^^ de 7J57J d'après Struve; celle de la vitesse obtenue par M. Michelson est 30*00» ^^ ^^ résulte j^^ ou o'',oo56 pour l'erreur probable de la seconde parallaxe. Ce qui ajoute encore à la valeur de cette détermination, c'est que M. Helmert, ayant corrigé légèrement le résultat de M. Cornu, est retombé presque identiquement (299 990''™) sur celui de M. Michelson.

Résumé et conclusion.

Voici le Tableau des dix valeurs les plus récentes de cet important élément, obtenues par neuf méthodes entièrement différentes.

Par la parallaxe de Mars 8,85

Méthodes \ Par le passage de Vénus 1769 8,79

géométriques { Par le passage de Vénus 1874 8,71 ::

8^,82. / Par la parallaxe de Flore 8,87

Par celle de Junon 8,79

222 LITBE V. — CHAPITRE XXII.

Méthodes L Par rinégalilé parallaclique de la Lune 8,8i

mécaniques •! Par l'inégalité mensuelle de la Terre 8,85

8*, 83. ( Par les perturbations de Mars et de Vénus 8,83

, ( Par la méthode de M. Fizeau ^-799

physiques ^^^ ^^ méthode de M. Foucault 8,8i3

Les huit premiers nombres comportent une incertitude qui va de =i= o^jio à d= ©",05. Le troisième n'est même pas définitif et est marqué douteux. Leur moyenne brute est 8%825.

Les deux derniers, qui se ramènent identiquement à 8'',8i3,onl bien plus de précision. C'est le nombre que Laplace avait adopté et que nous adopterons, après avoir constaté que les méthodes astronomiques convergent de plus en plus vers cette valeur définiti\e. Ainsi Tunité linéaire des astronomes, c'est-à-dire la moyenne distance de la Terre au Soleil ou demi-grand axe de Torbite terrestre, est de

28408 (p )z:i i5 ou iG^p),

ou, en mètres, de

DÉPLACEMENT P^.m.AlRK DE l' KCLI PTIQU K.